ROZDZIAŁ 9. SUPLEMENT 2
SYMETRIA PASM W PIERWSZEJ STREFIE BRILLOUINA
Plik pdf do wydruku:
r9_supl2.pdf
Równanie orbitalne dla kryształu ma postać
![](img/92/img1.png) |
(1) |
gdzie jednoelektronowy efektywny hamiltonian
![](img/92/img2.png)
można (w j.at.)
zapisać jako:
![](img/92/img3.png) |
(2) |
z potencjałem
![](img/92/img4.png)
o symetrii kryształu. Funkcja falowa musi należeć,
jak zawsze, do jednej z nieprzywiedlnych reprezentacji grupy symetrii kryształu i dlatego możemy jej dać indeks
![](img/92/img5.png)
, oznaczający wektor falowy determinujący reprezentację nieprzywiedlną grupy translacji. Jeśli tak, to i wartość własna
![](img/92/img6.png)
zależy od przyjętego
![](img/92/img5.png)
, stąd
![](img/92/img7.png)
![](img/92/img8.png)
.
Nie znamy postaci
![](img/92/img9.png)
, ale wiemy, że
funkcja ta musi zachowywać się
tak, jak wynika z twierdzenia Blocha. Jest to zagwarantowane bez straty ogólności, jeśli
![](img/92/img10.png) |
(3) |
gdzie
![](img/92/img11.png)
ma taką samą symetrię
jak kryształ lub jak
![](img/92/img12.png)
. W tej sytuacji zamiast
![](img/92/img13.png)
wystarczy poszukać
![](img/92/img14.png)
.
Zainteresujemy się, jakie równanie powinno spełniać
![](img/92/img15.png)
?
Wstawiamy równanie (3) do równania orbitalnego i dostajemy
Potrzebne nam będzie działanie operatora
![](img/92/img20.png)
na duży nawias:
Równanie na
![](img/92/img35.png)
przybiera postać
czyli
Jest to równanie własne na
![](img/92/img35.png)
i
![](img/92/img7.png)
![](img/92/img8.png)
.
Równanie to może mieć wiele rozwiązań, które będziemy numerować indeksem
![](img/92/img42.png)
Stąd otrzymamy
![](img/92/img43.png)
![](img/92/img8.png)
,
a to oznacza
strukturę pasmową
-- energia zależy od wektora
![](img/92/img44.png)
zgodnie z tym, że komórki elementarne oddziałują wiążąco i antywiążąco na różne sposoby, ale dzieje się to w ramach jednego pasma o określonym
![](img/92/img45.png)
. Mogą być też inne rozwiązania na
![](img/92/img46.png)
, które
w naszych dotychczasowych przykładach odpowiadałyby innym (np. wzbudzonym)
orbitalom w węzłach sieci i powstałyby inne pasma o innych
![](img/92/img45.png)
.
W zasadzie nie byłoby potrzeby wypisywania tego równania na
,
gdyby nie to, że chcę za jego pomocą wykazać, że struktura pasmowa
![](img/92/img43.png)
w PSB
(pierwszej strefie Brillouina) ma taką samą symetrię jak sam kryształ.
Teraz to udowodnimy.
Każda operacja symetrii
kryształu spełnia równanie
Odpowiada temu pewna liniowa transformacja współrzędnych; nowe współrzędne jakiegoś punktu wyrażają się jako liniowe kombinacje starych współrzędnych tego punktu
1:
przy czym
![](img/92/img61.png)
jest macierzą ortogonalną, tzn.
![](img/92/img62.png)
![](img/92/img63.png)
![](img/92/img62.png)
![](img/92/img65.png)
,
bo żadne odległości w obiekcie nie mają
prawa ulec zmianie, a to właśnie zapewnia transformacja ortogonalna.
Dokonajmy takiego samego przekształcenia wektora
![](img/92/img5.png)
:
Napiszmy równanie na
![](img/92/img67.png)
w nowym układzie współrzędnych:
Transformacja ortogonalna nie zmienia długości wektora
![](img/92/img5.png)
,
stąd
![](img/92/img71.png)
![](img/92/img5.png)
![](img/92/img72.png)
. Dalej,
![](img/92/img5.png)
![](img/92/img73.png)
![](img/92/img5.png)
![](img/92/img74.png)
,
bo iloczyn skalarny zależy od wzajemnego położenia dwóch wektorów, a nie od tego, jak cały układ np. obrócono. W ten sposób jesteśmy przygotowani do przekształcenia drugiego i trzeciego członu. Jeśli chodzi o człon pierwszy, to również
![](img/92/img75.png)
, co pokazano w rozdz. 2 podręcznika.
W rezultacie nasze równanie można zapisać w postaci
Jest to równanie własne z tym samym operatorem, co równanie przed transformacją, wobec tego
![](img/92/img77.png)
![](img/92/img5.png)
![](img/92/img78.png)
![](img/92/img8.png)
.
To właśnie mieliśmy wykazać:
- ... punktu1
-
![](img/92/img53.png)
i
![](img/92/img53.png)
;
podobnie
![](img/92/img5.png)