ROZDZIAŁ 9. SUPLEMENT 2
SYMETRIA PASM W PIERWSZEJ STREFIE BRILLOUINA

Plik pdf do wydruku: r9_supl2.pdf

Równanie orbitalne dla kryształu ma postać

(1)

gdzie jednoelektronowy efektywny hamiltonian

można (w j.at.) zapisać jako:

(2)

z potencjałem

o symetrii kryształu. Funkcja falowa musi należeć, jak zawsze, do jednej z nieprzywiedlnych reprezentacji grupy symetrii kryształu i dlatego możemy jej dać indeks , oznaczający wektor falowy determinujący reprezentację nieprzywiedlną grupy translacji. Jeśli tak, to i wartość własna zależy od przyjętego , stąd . Nie znamy postaci , ale wiemy, że funkcja ta musi zachowywać się tak, jak wynika z twierdzenia Blocha. Jest to zagwarantowane bez straty ogólności, jeśli

(3)

gdzie ma taką samą symetrię jak kryształ lub jak . W tej sytuacji zamiast wystarczy poszukać . Zainteresujemy się, jakie równanie powinno spełniać ? Wstawiamy równanie (3) do równania orbitalnego i dostajemy

(4)

Potrzebne nam będzie działanie operatora na duży nawias:

Równanie na przybiera postać

czyli

(5)

Jest to równanie własne na i . Równanie to może mieć wiele rozwiązań, które będziemy numerować indeksem Stąd otrzymamy , a to oznacza strukturę pasmową -- energia zależy od wektora zgodnie z tym, że komórki elementarne oddziałują wiążąco i antywiążąco na różne sposoby, ale dzieje się to w ramach jednego pasma o określonym . Mogą być też inne rozwiązania na , które w naszych dotychczasowych przykładach odpowiadałyby innym (np. wzbudzonym) orbitalom w węzłach sieci i powstałyby inne pasma o innych .

W zasadzie nie byłoby potrzeby wypisywania tego równania na , gdyby nie to, że chcę za jego pomocą wykazać, że struktura pasmowa w PSB (pierwszej strefie Brillouina) ma taką samą symetrię jak sam kryształ.

Teraz to udowodnimy.

Każda operacja symetrii kryształu spełnia równanie

(6)

Odpowiada temu pewna liniowa transformacja współrzędnych; nowe współrzędne jakiegoś punktu wyrażają się jako liniowe kombinacje starych współrzędnych tego punktu¹:

(7)

przy czym jest macierzą ortogonalną, tzn. , bo żadne odległości w obiekcie nie mają prawa ulec zmianie, a to właśnie zapewnia transformacja ortogonalna. Dokonajmy takiego samego przekształcenia wektora :

(8)

Napiszmy równanie na w nowym układzie współrzędnych:

(9)

Transformacja ortogonalna nie zmienia długości wektora , stąd . Dalej, , bo iloczyn skalarny zależy od wzajemnego położenia dwóch wektorów, a nie od tego, jak cały układ np. obrócono. W ten sposób jesteśmy przygotowani do przekształcenia drugiego i trzeciego członu. Jeśli chodzi o człon pierwszy, to również , co pokazano w rozdz. 2 podręcznika.

W rezultacie nasze równanie można zapisać w postaci