ROZDZIAŁ 7. SUPLEMENT 2
PRZYKŁAD RÓWNAŃ NEWTONA DLA MOLEKUŁY DWUATOMOWEJ

Plik pdf do wydruku: r7_supl2.pdf

Rozpatrzmy, na przykład, molekułę CO i ponumerujmy atomy: C ma nr 1, O ma nr 2. Mamy współrzędnych kartezjańskich , . Moglibyśmy umieścić oba atomy na jednej osi, np. , i problem stałby się jednowymiarowy. My jednak postąpimy tak, jak dyktują nam właśnie wyprowadzane wzory ogólne. Wektor , gdzie i . Energia potencjalna ma dla molekuły CO w przybliżeniu harmonicznym postać:

gdzie jest wektorem wychylenia atomu pierwszego (węgla) ze swojego położenia równowagi, a wektor jest wychyleniem atomu drugiego (tlenu) z położenia równowagi. Taka postać ma oczywiście sens, bo gdy tylko wychylenia obu atomów się różnią, energia zaraz dostaje karę rosnącą parabolicznie z wielkością przewinienia.

Teraz zainteresujemy się równaniami ruchu Newtona: masa razy przyspieszenie równa się siła. Składowa siły działającej na atom o masie to ujemna pochodna energii potencjalnej względem odpowiedniej współrzędnej tego atomu. Ponieważ , więc (kropki oznaczają pochodne po czasie):

(1)

dla , gdzie jest liczbą atomów w molekule. Potrzebne nam obliczamy, różniczkując wyrażenie na uzyskane w przybliżeniu harmonicznym

			(2)
			(3)

przy czym skorzystaliśmy z równości pochodnych mieszanych i niezależności wyniku od indeksu sumacyjnego. W naszym przykładzie możemy teraz obliczyć siły działające na atomy. Na przykład pierwszą składową siły działającej na atom nr 1 obliczamy, różniczkując względem lub, co na jedno wychodzi, względem :

Podobnie dostajemy

Zobaczmy, jak w naszym przykładzie wygląda macierz drugich pochodnych obliczona dla punktu równowagi. Uzyskujemy ją szybko jako:

.

W naszym przykładzie równania Newtona mają identyczną postać. Istotnie, składowe siły, która występuje po prawej stronie równania, to wektor

który jest, jak łatwo sprawdzić, korzystając ze znalezionej postaci , identyczny z wektorem .