ROZDZIAŁ 9. SUPLEMENT 1
KONSTRUKCJA SIECI ODWROTNEJ W 3-D
Plik pdf do wydruku: r9_supl1.pdf
Zobaczmy teraz, jak praktycznie tworzy się sieć odwrotną w trzech wymiarach. Weźmy jako przykład sieć regularną przestrzennie centrowaną (ang. body centered cubic, bcc, rys.1a).
Wybrane wektory bazy to:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(1) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(2) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(3) |
gdzie
![](img/91/img11.png)
![](img/91/img12.png)
![](img/91/img13.png)
![](img/91/img14.png)
![](img/91/img15.png)
![](img/91/img16.png)
![](img/91/img17.png)
![](img/91/img18.png)
![](img/91/img17.png)
![](img/91/img19.png)
![](img/91/img17.png)
![](img/91/img20.png)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4) |
Nim przejdziemy do sieci odwrotnej odpowiadającej sieci prostej bcc, rozważmy inną sieć prostą: regularną (inaczej kubiczną) ściennie centrowaną (ang. face centered cubic, fcc). Komórka elementarna tej sieci jest pokazana na rys.1b.
![](img/91/img26.png)
Rys.1. a) Sieć regularna przestrzennie centrowana (bcc). b) Sieć regularna ściennie centrowana (fcc). W obu przypadkach trzy wektory bazy mają jednakową długość, ale nie są wzajemnie prostopadłe |
Wektory bazy w tej sieci to:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(5) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(6) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(7) |
Inne atomy można przedstawić jako wskazywane wektorami, które są
liniowymi kombinacjami (o całkowitych współczynnikach) ,
,
.
Na przykład atom, który na naszym płaskim rysunku jest najwyżej, wskazywany jest wektorem
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(8) |
Sieci odwrotne
Sieć regularna przestrzennie centrowana (bcc).
Teraz przechodzimy do sprawy sieci odwrotnej dla pierwszej z sieci, czyli bcc. Z definicji wektorów bazy sieci odwrotnej mamy
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(9) |
ale
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(10) |
Z kolei
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(11) |
Stąd
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(12) |
a to oznacza proporcjonalność do
![](img/91/img29.png)
![](img/91/img18.png)
Podobnie otrzymamy wektory
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(13) |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(14) |
proporcjonalne odpowiednio do wektorów
![](img/91/img29.png)
![](img/91/img19.png)
![](img/91/img29.png)
![](img/91/img20.png)
![](img/91/img49.png)
Sieć regularna ściennie centrowana (fcc).
Podobne rozważania dla sieci fcc dają:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(15) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(16) |
oraz
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(17) |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(18) |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(19) |
proporcjonalne odpowiednio do wektorów
![](img/91/img17.png)
![](img/91/img55.png)
![](img/91/img17.png)
![](img/91/img56.png)
![](img/91/img17.png)
![](img/91/img57.png)
Stąd wniosek, że
![](img/91/img58.png)
- ... całkowitymi1
- Zwróćmy uwagę na jednakową długość wektorów bazy, a także na to, że nie są one do siebie prostopadłe (co sprawdzamy przez obliczenie iloczynów skalarnych).