ROZDZIAŁ 9. SUPLEMENT 1
KONSTRUKCJA SIECI ODWROTNEJ W 3-D

Plik pdf do wydruku: r9_supl1.pdf

Zobaczmy teraz, jak praktycznie tworzy się sieć odwrotną w trzech wymiarach. Weźmy jako przykład sieć regularną przestrzennie centrowaną (ang. body centered cubic, bcc, rys.1a).

Wybrane wektory bazy to:

(1)

(2)

(3)

gdzie , , to wersory wzdłuż osi , , . Jest to baza, bo wszystkie inne węzły sieci powstają przez jakąś liniową kombinację , i ze współczynnikami całkowitymi¹. Na przykład atom w dolnym, prawym, tylnym rogu wskazywany jest wektorem

(4)

Nim przejdziemy do sieci odwrotnej odpowiadającej sieci prostej bcc, rozważmy inną sieć prostą: regularną (inaczej kubiczną) ściennie centrowaną (ang. face centered cubic, fcc). Komórka elementarna tej sieci jest pokazana na rys.1b.

Rys.1. a) Sieć regularna przestrzennie centrowana (bcc). b) Sieć regularna ściennie centrowana (fcc). W obu przypadkach trzy wektory bazy mają jednakową długość, ale nie są wzajemnie prostopadłe

Wektory bazy w tej sieci to:

(5)

(6)

(7)

Inne atomy można przedstawić jako wskazywane wektorami, które są liniowymi kombinacjami (o całkowitych współczynnikach) , , . Na przykład atom, który na naszym płaskim rysunku jest najwyżej, wskazywany jest wektorem

(8)

Sieci odwrotne

Sieć regularna przestrzennie centrowana (bcc). Teraz przechodzimy do sprawy sieci odwrotnej dla pierwszej z sieci, czyli bcc. Z definicji wektorów bazy sieci odwrotnej mamy

(9)

ale

(10)

Z kolei

(11)

Stąd

(12)

a to oznacza proporcjonalność do .

Podobnie otrzymamy wektory

			(13)
			(14)

proporcjonalne odpowiednio do wektorów i (współczynnik proporcjonalności jest ten sam) sieci fcc. Stąd wniosek:

Sieć regularna ściennie centrowana (fcc). Podobne rozważania dla sieci fcc dają:

(15)

(16)

oraz

			(17)
			(18)
			(19)

proporcjonalne odpowiednio do wektorów , i sieci bcc.

Stąd wniosek, że

---

... całkowitymi¹

Zwróćmy uwagę na jednakową długość wektorów bazy, a także na to, że nie są one do siebie prostopadłe (co sprawdzamy przez obliczenie iloczynów skalarnych).