Czy światło można traktować jak gaz? Wyprowadzenie równania stanu gazu fotonowego (can light be treated as gas? derivation of the equation of state for photon gas)
![](img/img411.gif)
Gaz fotonowy (photon gas)
Będziemy myśleć o promieniowaniu zawartym we wnęce w obrazie korpuskularnym, czyli traktując je jako gaz fotonów. Fotony niosą ze sobą pewną energię i pęd. Podczas odbijania się od ścianek wnęki przekazują im pewną porcję pędu. W związku z tym gaz fotonowy wywiera na ścianki naczynia ciśnienie, podobnie jak zwykły gaz złożony z cząsteczek. Będziemy poszukiwać równania stanu dla gazu fotonowego analogicznego do równania stanu gazu doskonałego.
Foton nie ma masy i porusza się z prędkością światła . Zgodnie ze szczególną teorią względności relatywistyczny związek energii i pędu ma postać:
![]() |
(@1) |
Dla fotonu (
![](img/img413.gif)
![]() |
(@2) |
Rozważmy foton, który porusza się poziomo we wnęce, i dla uproszczenia przyjmijmy, że wnęka jest sześcianem o krawędzi
![](img/img307.gif)
![](img/img415.gif)
Niech foton ma pęd i energię
. Przy każdym odbiciu od prawej ściany wnęki foton przekazuje ścianie pęd równy
![]() |
(@3) |
Czas, jaki potrzebuje foton na przebycie wnęki w tam i z powrotem, wynosi
![]() |
(@4) |
W związku z tym średnia siła, jaką wywiera ten foton na prawą ścianę wnęki, wynosi
![]() |
(@5) |
Taką samą średnią siłą działa ten foton na lewą ścianę wnęki. Niech
![](img/img421.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/img124.gif)
![](img/img36.gif)
![](img/img422.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/img422.gif)
![](img/img124.gif)
![](img/img422.gif)
![](img/img36.gif)
![]() |
(@6) |
Ciśnienie gazu fotonowego równe jest:
![]() |
(@7) |
Wyrażenie
![](img/img425.gif)
![]() |
(@8) |
Dla porównania, dla jednoatomowego gazu doskonałego obowiązują równania:
![]() |
(@9) |
czyli związek
![](img/img16.gif)
![](img/img17.gif)
![](img/img421.gif)
![]() |
(@10) |
Do pełnego opisu gazu fotonowego potrzeba jeszcze znaleźć zależność energii gazu od temperatury
. Ważną różnicą między gazem fotonowym a gazem cząsteczkowym jest fakt, że liczba fotonów w zamkniętej wnęce nie jest stała. Ścianki wnęki nieustannie absorbują i emitują fotony, w związku z czym liczba fotonów się zmienia. We wzorach nie będzie więc występować liczba fotonów we wnęce.
Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać jako
gdzie
![](img/img430.gif)
![](img/img431.gif)
Cykl Carnota dla gazu fotonowego (Carnot cycle for photon gas)
Rozważmy w tym celu silnik Carnota, w którym ciałem roboczym jest gaz fotonowy, a temperatura grzejnika i chłodnicy wynoszą odpowiednio![](img/img18.gif)
![](img/img432.gif)
![](img/img433.gif)
![](img/img16.gif)
![](img/img434.gif)
![](img/img434.gif)
![]() |
(@12) |
Praca wykonana równa jest polu powierzchni obejmowanemu przez figurę reprezentującą cykl na rysunku. Ponieważ różnica temperatur jest nieskończenie mała, możemy obliczyć to pole jako pole prostokąta:
![]() |
(@13) |
Silnik pobiera energię w postaci ciepła w przemianie izotermicznej w temperaturze
![](img/img18.gif)
![]() |
(@14) |
Podstawiając związek ciśnienia i energii wewnętrznej (@11) otrzymujemy
![]() |
(@15) |
Sprawność silnika wynosi więc
![]() |
(@16) |
Z drugiej strony, korzystając ze wzoru na sprawność silnika Carnota (który jest poprawny niezależnie od substancji roboczej), mamy, że
![]() |
(@17) |
Porównując powyższe wyrażenia, otrzymujemy
![]() |
(@18) |
Całkując stronami, otrzymujemy, że
gdzie
![](img/img140.gif)
![](img/img140.gif)
![](img/img443.gif)
![]() |
(@20) |
Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać więc w postaci:
![]() |
(@21) |
Prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna (Stefan-Boltzmann law of radiation)
Gdy w ściance wnęki z gazem fotonowym zrobimy mały otwór, część promieniowania będzie z wnęki uciekać. Moc promieniowania emitowanego przez otwór o jednostkowej powierzchni
![](img/img446.gif)
![]() |
(@22) |
Moc promieniowania jest więc proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Wzór powyższy jest poprawny nie tylko dla przypadku promieniowania wychodzącego z małego otworu we wnęce, ale jest on poprawny dla każdego ciała, które można uważać za ciało doskonale czarne. Moc promieniowania każdego ciała doskonale czarnego wyraża się wzorem
![]() |
(@23) |
Powyższe prawo nosi nazwę prawa Stefana-Boltzmanna. Stała
![](img/img443.gif)
![]() |
(@24) |
gdzie
![](img/img26.gif)
![](img/img158.gif)