Czy światło można traktować jak gaz? Wyprowadzenie równania stanu gazu fotonowego (can light be treated as gas? derivation of the equation of state for photon gas)

Rozważmy metalową wnękę, wewnątrz której znajduje się światło (lub inne promieniowanie elektromagnetyczne).

Gaz fotonowy (photon gas)

Będziemy myśleć o promieniowaniu zawartym we wnęce w obrazie korpuskularnym, czyli traktując je jako gaz fotonów. Fotony niosą ze sobą pewną energię i pęd. Podczas odbijania się od ścianek wnęki przekazują im pewną porcję pędu. W związku z tym gaz fotonowy wywiera na ścianki naczynia ciśnienie, podobnie jak zwykły gaz złożony z cząsteczek. Będziemy poszukiwać równania stanu dla gazu fotonowego analogicznego do równania stanu gazu doskonałego.

Foton nie ma masy i porusza się z prędkością światła . Zgodnie ze szczególną teorią względności relatywistyczny związek energii i pędu ma postać:

(@1)

Dla fotonu () związek ten przyjmuje postać:

(@2)

Rozważmy foton, który porusza się poziomo we wnęce, i dla uproszczenia przyjmijmy, że wnęka jest sześcianem o krawędzi .

Niech foton ma pęd i energię . Przy każdym odbiciu od prawej ściany wnęki foton przekazuje ścianie pęd równy

(@3)

Czas, jaki potrzebuje foton na przebycie wnęki w tam i z powrotem, wynosi

(@4)

W związku z tym średnia siła, jaką wywiera ten foton na prawą ścianę wnęki, wynosi

(@5)

Taką samą średnią siłą działa ten foton na lewą ścianę wnęki. Niech będzie energią wszystkich fotonów zawartych we wnęce. Ponieważ fotony poruszają się w przypadkowych kierunkach (, , ), całkowitej energii przypada na ruch w kierunku , na ruch w kierunku i na ruch w kierunku . Siła wywierana przez fotony na każdą ze ścianek wynosi zatem

(@6)

Ciśnienie gazu fotonowego równe jest:

(@7)

Wyrażenie jest równe objętości wnęki. W związku z tym równanie stanu gazu fotonowego ma postać:

(@8)

Dla porównania, dla jednoatomowego gazu doskonałego obowiązują równania:

(@9)

czyli związek , i ma postać:

(@10)

Do pełnego opisu gazu fotonowego potrzeba jeszcze znaleźć zależność energii gazu od temperatury . Ważną różnicą między gazem fotonowym a gazem cząsteczkowym jest fakt, że liczba fotonów w zamkniętej wnęce nie jest stała. Ścianki wnęki nieustannie absorbują i emitują fotony, w związku z czym liczba fotonów się zmienia. We wzorach nie będzie więc występować liczba fotonów we wnęce.

Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać jako

(@11)

gdzie jest gęstością energii we wnęce. Chcemy znaleźć zależność gęstości energii we wnęce od temperatury, .

Cykl Carnota dla gazu fotonowego (Carnot cycle for photon gas)

Rozważmy w tym celu silnik Carnota, w którym ciałem roboczym jest gaz fotonowy, a temperatura grzejnika i chłodnicy wynoszą odpowiednio i .

Na rysunku czerwone linie oznaczają przemiany izotermiczne, natomiast niebieskie przemiany adiabatyczne. Izotermy są poziome, gdyż zależy tylko od , a z kolei zależy tylko od temperatury. Sprawność silnika jest stosunkiem pracy wykonanej przez silnik w jednym cyklu do dostarczonej w tym cyklu energii w postaci ciepła:

(@12)

Praca wykonana równa jest polu powierzchni obejmowanemu przez figurę reprezentującą cykl na rysunku. Ponieważ różnica temperatur jest nieskończenie mała, możemy obliczyć to pole jako pole prostokąta:

(@13)

Silnik pobiera energię w postaci ciepła w przemianie izotermicznej w temperaturze . Pobrane ciepło zużywane jest na wykonanie pracy i zwiększenie energii wewnętrznej gazu:

(@14)

Podstawiając związek ciśnienia i energii wewnętrznej (@11) otrzymujemy

(@15)

Sprawność silnika wynosi więc

(@16)

Z drugiej strony, korzystając ze wzoru na sprawność silnika Carnota (który jest poprawny niezależnie od substancji roboczej), mamy, że

(@17)

Porównując powyższe wyrażenia, otrzymujemy

(@18)

Całkując stronami, otrzymujemy, że

(@19)

gdzie jest pewną stałą, której wyznaczenie wymaga bardziej złożonych rozważań. Wzór powyższy oznacza, że gęstość energii gazu fotonowego jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Stała wyraża się przez stałą Stefana-Boltzmanna (patrz niżej) wzorem:

(@20)

Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać więc w postaci:

(@21)

Prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna (Stefan-Boltzmann law of radiation)

Gdy w ściance wnęki z gazem fotonowym zrobimy mały otwór, część promieniowania będzie z wnęki uciekać. Moc promieniowania emitowanego przez otwór o jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do gęstości energii promieniowania zawartej we wnęce razy prędkość światła:

(@22)

Moc promieniowania jest więc proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Wzór powyższy jest poprawny nie tylko dla przypadku promieniowania wychodzącego z małego otworu we wnęce, ale jest on poprawny dla każdego ciała, które można uważać za ciało doskonale czarne. Moc promieniowania każdego ciała doskonale czarnego wyraża się wzorem

(@23)

Powyższe prawo nosi nazwę prawa Stefana-Boltzmanna. Stała nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna i może być wyznaczona z rozważań kwantowych

(@24)

gdzie jest stałą Boltzmanna, a stałą Plancka.