,,Wyprowadzenie'' równania Schrödingera (''derivation of'' the Schrödinger equation)

Równanie Schrödingera na funkcję falową cząstki o masie poruszającej się w jednym wymiarze, w potencjale zadanym funkcją ma postać:

(@1)

gdzie ( jest stałą Plancka), a jest jednostką urojoną.

,,Wyprowadzenie''

Poniższe rozumowanie nie jest w żadnym razie ścisłym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem pewnych intuicji prowadzących do niego.

Obserwacje światła prowadzą do wniosku, że jego natura jest nie tylko falowa, ale i cząstkowa (sugerują to obserwacje zjawiska fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki światła nazywamy fotonami. Z falą elektromagnetyczną o długości fali i częstości związane są fotony o pędzie i energii danych wzorami

(@2)

gdzie jest liczbą falową, a . Inne cząstki (elektrony, neutrony...) również wykazują cechy zarówno cząstkowe, jak i falowe. Powyższy związek pędu i energii z długością i częstością związanej z daną cząstką fali obowiązuje dla wszystkich cząstek, nie tylko dla fotonów.

Powyższe związki prowadzą do wniosku, że cząstka ma określoną energię i pęd jedynie wtedy, gdy odpowiadająca jej fala jest falą płaską - ma określoną częstość i długość fali. Oznacza to, że fala związana z cząstką o określonej energii i pędzie jest proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus i cosinus

(@3)

Taka funkcja falowa odpowiada cząstce biegnącej w prawo. Jeśli dopuścimy, aby współczynniki w powyższej kombinacji były liczbami zespolonymi, to biorąc , dostajemy

(@4)

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Eulera . Funkcję falową o takiej postaci przyjmiemy jako funkcję falową opisującą cząstkę o określonej energii i pędzie. Powyższa funkcja falowa jest dość wyjątkową kombinacją funkcji sinus i cosinus, gdyż z uwagi na fakt, że , ma ona tę własność, że jej moduł jest stały - nie zależy od i . Moduł funkcji falowej będzie z kolei służył do wyznaczania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie. Cząstka o funkcji falowej danej powyższym wzorem będzie mogła być znaleziona z równym prawdopodobieństwem w całej przestrzeni - żaden punkt nie będzie wyróżniony.

Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej związanej z cząstką o masie . Zakładamy, że cząstka jest cząstką nierelatywistyczną (tzn. porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła lub, mówiąc inaczej, jej energia kinetyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej ). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, będzie służyć tylko do opisu takich cząstek. W szczególności nie będzie się ono nadawać do opisu fotonów.

Klasyczny, nierelatywistyczny związek energii i pędu cząstki ma postać

(@5)

gdzie jest energią potencjalną cząstki, gdy znajduje się ona w punkcie . Naszym celem jest sformułowanie dynamiki cząstki za pomocą pewnego równania na funkcję falową związaną z cząstką, takiego aby zachować powyższy związek między energią i pędem.

Zauważmy, że używając funkcji falowej odpowiadającej cząstce o określonym pędzie i położeniu (równanie @4), możemy napisać

(@6)

gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze związków (@2). Oznacza to, że działanie na funkcję falową operacją powoduje pomnożenie funkcji falowej przez energię cząstki. Podobnie możemy napisać

(@7)

Operacja w działaniu na funkcję falową powoduje więc pomnożenie jej przez pęd cząstki. Możemy zatem dokonać następującego utożsamienia energii i pędu z odpowiednimi operacjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja różniczkowania po czasie pomnożona przez , natomiast pędowi będzie odpowiadać operacja różniczkowania po pomnożona przez

(@8)

Pędowi w kwadracie będzie odpowiadać dwukrotne działanie operacją na funkcję falową

(@9)

Jeśli zatem związek energii i pędu (@5) pomnożymy przez funkcję falową

(@10)

a następnie za energię i pęd wstawimy utożsamione z nimi operacje, to otrzymamy równanie

(@11)

które jest właśnie równaniem Schrödingera.