,,Wyprowadzenie'' równania Schrödingera (''derivation of'' the Schrödinger equation)
Równanie Schrödingera na funkcję falowącząstki o masie
poruszającej się w jednym wymiarze, w potencjale zadanym funkcją
ma postać:
![]() |
(@1) |
gdzie
![](img/img353.gif)
![](img/img158.gif)
![](img/img354.gif)
,,Wyprowadzenie''
Poniższe rozumowanie nie jest w żadnym razie ścisłym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem pewnych intuicji prowadzących do niego.
Obserwacje światła prowadzą do wniosku, że jego natura jest nie tylko falowa, ale i cząstkowa (sugerują to obserwacje zjawiska fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki światła nazywamy fotonami. Z falą elektromagnetyczną o długości fali i częstości
związane są fotony o pędzie i energii danych wzorami
gdzie
![](img/img357.gif)
![](img/img358.gif)
Powyższe związki prowadzą do wniosku, że cząstka ma określoną energię i pęd jedynie wtedy, gdy odpowiadająca jej fala jest falą płaską - ma określoną częstość i długość fali. Oznacza to, że fala związana z cząstką o określonej energii i pędzie jest proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus i cosinus
![]() |
(@3) |
Taka funkcja falowa odpowiada cząstce biegnącej w prawo. Jeśli dopuścimy, aby współczynniki w powyższej kombinacji były liczbami zespolonymi, to biorąc
![](img/img360.gif)
![](img/img361.gif)
gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Eulera
![](img/img363.gif)
![](img/img364.gif)
![](img/img365.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/img113.gif)
Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej związanej z cząstką o masie . Zakładamy, że cząstka jest cząstką nierelatywistyczną (tzn. porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła lub, mówiąc inaczej, jej energia kinetyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej
). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, będzie służyć tylko do opisu takich cząstek. W szczególności nie będzie się ono nadawać do opisu fotonów.
Klasyczny, nierelatywistyczny związek energii i pędu cząstki
ma postać
gdzie
![](img/img351.gif)
![](img/img96.gif)
Zauważmy, że używając funkcji falowej odpowiadającej cząstce o określonym pędzie i położeniu (równanie @4), możemy napisać
![]() |
(@6) |
gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze związków (@2). Oznacza to, że działanie na funkcję falową operacją
![](img/img369.gif)
![]() |
(@7) |
Operacja
![](img/img371.gif)
![](img/img372.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/img373.gif)
![]() |
(@8) |
Pędowi w kwadracie
![](img/img375.gif)
![](img/img371.gif)
![]() |
(@9) |
Jeśli zatem związek energii i pędu (@5) pomnożymy przez funkcję falową
![](img/img350.gif)
![]() |
(@10) |
a następnie za energię i pęd wstawimy utożsamione z nimi operacje, to otrzymamy równanie
![]() |
(@11) |
które jest właśnie równaniem Schrödingera.