Szczególna teoria względności i wyprowadzenie siły Lorentza (special theory of relativity and derivation of the Lorentz force)

W nauczaniu fizyki istnienie pola magnetycznego wprowadza się zazwyczaj jako fakt doświadczalny. Przywołuje się obserwacje, że w obecności magnesów lub przewodników z prądem na poruszający się ładunek działa siła prostopadła do kierunku prędkości ładunku, proporcjonalna do wartości ładunku i proporcjonalna do wartości jego prędkości. Silę tę nazywa się siłą Lorentza, a pole powodujące powstanie tej siły nazywa się polem magnetycznym. Siła Lorentza wyraża się wzorem

i wzór ten jest również wzorem, definiującym wektor indukcji magnetycznej .

Jest rzeczą zaskakującą i niezwykle piękną, że nie odwołując się do obserwacji doświadczalnych, lecz korzystając jedynie z prawa Coulomba i szczególnej teorii względności, można wyprowadzić zarówno ,,istnienie'' pola magnetycznego, jak i postać siły Lorentza.

Rozważmy przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu . Przyjmiemy, że przewodnik jest nienaładowany, czyli koncentracja ładunku ujemnego w przewodniku (gęstość elektronów) równa jest koncentracji ładunku dodatniego (gęstość dodatnich jonów). Za przepływ prądu w przewodniku odpowiedzialne są elektrony, które poruszają się średnio z pewną prędkością unoszenia .

Umieśćmy teraz pewien nieruchomy dodatni ładunek próbny w odległości od przewodnika.

Ponieważ gęstość ładunku dodatniego w przewodniku równa jest gęstości ładunku ujemnego, siła Coulomba działająca na ładunek próbny wynosi zero (dla przejrzystości rysunku elektrony narysowano bliżej ładunku próbnego, a jony dodatnie dalej, ale w rzeczywistości zarówno elektrony, jak i jony znajdują się w całej objętości przewodnika).

Co się stanie, gdy ładunek próbny zacznie poruszać się z prędkością wzdłuż przewodnika, zgodnie z kierunkiem przepływu prądu? Zgodnie z tradycyjnym rozumowaniem powiedzielibyśmy, że skoro przez przewodnik płynie prąd o natężeniu , to zgodnie z prawem Ampère'a, w odległości od przewodnika pole magnetyczne wynosi

(@1)

Na ładunek próbny działa w takim razie siła Lorentza równa co do wartości

(@2)

i skierowana w stronę przewodnika.

Chcemy teraz wyprowadzić ten wynik, korzystając jedynie z prawa Coulomba i szczególnej teorii względności.

Przejdźmy w takim razie do układu odniesienia związanego z poruszającym się ładunkiem próbnym (nazwijmy ten układ układem primowanym). W tym układzie ładunek próbny spoczywa, jony dodatnie poruszają się w lewo z prędkością , natomiast elektrony poruszają się w lewo z pewną prędkością .

Korzystając z relatywistycznego prawa składania prędkości możemy obliczyć prędkość elektronów:

(@3)

W układzie odniesienia, w którym przewodnik z prądem spoczywa (układzie nieprimowanym), wypadkowa gęstość ładunku w przewodniku wynosi zero. Oznaczmy przez i odpowiednio liniową gęstość ładunku ujemnego i dodatniego w przewodniku. Zachodzi związek

(@4)

W układzie primowanym, związanym z poruszającym się ładunkiem próbnym, gęstości liniowe ładunków dodatnich i ujemnych zmienią się. Ze względu na zjawisko skrócenia Lorentza zarówno elektrony, jak i jony dodatnie będą znajdować się bliżej siebie, a w związku z tym gęstość liniowa zarówno ładunku dodatniego, jak i ujemnego wzrośnie. Nie wzrośnie jednak w taki sam sposób, jak przekonamy się poniżej. W związku z tym pojawi się pewien niezerowy wypadkowy ładunek przewodnika, który będzie odpowiedzialny za przyciąganie ładunku próbnego.

Jony dodatnie w układzie nieprimowanym spoczywały. Skoro w układzie primowanym poruszają się z prędkością , to ze względu na skrócenie Lorentza odległości między nimi zmniejszą się o czynnik . Liniowa gęstość ładunku dodatniego w układzie primowanym wynosi więc

(@5)

Elektrony w układzie nieprimowanym poruszają się z prędkością . Jeśli przez oznaczymy gęstość liniową ładunku ujemnego związanego z elektronami w układzie odniesienia, w którym elektrony spoczywają, to możemy zapisać związek pomiędzy , a w postaci

(@6)

W układzie primowanym elektrony poruszają się z kolei z prędkością , w związku z czym związek i ma postać

(@7)

Możemy w takim razie zapisać związek między gęstością ładunku ujemnego w układzie primowanym i gęstością ładunku ujemnego w układzie nieprimowanym

(@8)

Po podstawieniu do powyższego równania wyrażenia na (@3) i kilku przekształceniach otrzymujemy

(@9)

Gęstość liniowa ładunku ujemnego będzie więc większa niż gęstość liniowa ładunku dodatniego. Oznacza to, że siła działająca na ładunek próbny będzie przyciągająca. Wypadkowa gęstość ładunku w przewodniku w układzie primowanym wynosi

(@10)

Korzystając z faktu, że , otrzymujemy

(@11)

Przewodnik będzie przyciągał ładunek próbny pewną siłą Coulomba. Korzystając z prawa Coulomba lub równoważnego mu prawa Gaussa, można pokazać, że siła działająca na ładunek punktowy znajdujący się w odległości od nici o gęstości liniowej ładunku wynosi

(@12)

Podstawiając do tego wzoru uzyskane wyrażenie na (@11), otrzymujemy, że w układzie primowanym siła Coulomba działająca na ładunek próbny wynosi:

(@13)

Zwróćmy uwagę, że wyrażenie jest równe natężeniu prądu płynącego przez przewodnik obserwowanemu w układzie nieprimowanym:

(@14)

Wprowadzając oznaczenie , równanie na siłę w układzie primowanym otrzymujemy w postaci

(@15)

Wzór na siłę jest więc bardzo podobny do wzoru na siłę Lorentza wyznaczonego w tradycyjny sposób (@2). Jedyną różnicą jest czynnik . Różnica bierze się stąd, że w szczególnej teorii względności, gdy przechodzimy z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego, siła podobnie jak inne wielkości również podlega transformacji. W rozważanej sytuacji transformacja siły między układem primowanym i nieprimowanym ma postać

(@16)

W związku z tym z powyższego rozumowania otrzymujemy, że w układzie nieprimowanym siła działająca na ładunek wynosi

(@17)

I tym sposobem za pomocą rozważań relatywistycznych i prawa Coulomba wyprowadziliśmy wzór na siłę Lorentza działającą na ładunek poruszający się wzdłuż przewodnika przez który płynie prąd o natężeniu .

Istnienie siły Lorentza i w związku z tym konieczność wprowadzenia pojęcia pola magnetycznego wynika więc z praw szczególnej teorii względności. Jest rzeczą niesłychanie istotną, że w powyższych rozważaniach efekty relatywistyczne (skrócenie Lorentza) są istotne nawet wtedy, gdy ładunek próbny porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła. Siła Lorentza znacząco wpływa również na ruch ładunków poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła. Można powiedzieć, że siła Lorentza jest efektem relatywistycznym, który objawia się nawet dla cząstek poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła!