Szczególna teoria względności i wyprowadzenie siły Lorentza (special theory of relativity and derivation of the Lorentz force)
Jest rzeczą zaskakującą i niezwykle piękną, że nie odwołując się do obserwacji doświadczalnych, lecz korzystając jedynie z prawa Coulomba i szczególnej teorii względności, można wyprowadzić zarówno ,,istnienie'' pola magnetycznego, jak i postać siły Lorentza.
Rozważmy przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu . Przyjmiemy, że przewodnik jest nienaładowany, czyli koncentracja ładunku ujemnego w przewodniku (gęstość elektronów) równa jest koncentracji ładunku dodatniego (gęstość dodatnich jonów). Za przepływ prądu w przewodniku odpowiedzialne są elektrony, które poruszają się średnio z pewną prędkością unoszenia .
Umieśćmy teraz pewien nieruchomy dodatni ładunek próbny w odległości od przewodnika.
Co się stanie, gdy ładunek próbny zacznie poruszać się z prędkością wzdłuż przewodnika, zgodnie z kierunkiem przepływu prądu? Zgodnie z tradycyjnym rozumowaniem powiedzielibyśmy, że skoro przez przewodnik płynie prąd o natężeniu , to zgodnie z prawem Ampère'a, w odległości od przewodnika pole magnetyczne wynosi
(@1) |
Na ładunek próbny działa w takim razie siła Lorentza równa co do wartości
i skierowana w stronę przewodnika.
Przejdźmy w takim razie do układu odniesienia związanego z poruszającym się ładunkiem próbnym (nazwijmy ten układ układem primowanym). W tym układzie ładunek próbny spoczywa, jony dodatnie poruszają się w lewo z prędkością , natomiast elektrony poruszają się w lewo z pewną prędkością .
W układzie odniesienia, w którym przewodnik z prądem spoczywa (układzie nieprimowanym), wypadkowa gęstość ładunku w przewodniku wynosi zero. Oznaczmy przez i odpowiednio liniową gęstość ładunku ujemnego i dodatniego w przewodniku. Zachodzi związek
(@4) |
W układzie primowanym, związanym z poruszającym się ładunkiem próbnym, gęstości liniowe ładunków dodatnich i ujemnych zmienią się. Ze względu na zjawisko skrócenia Lorentza zarówno elektrony, jak i jony dodatnie będą znajdować się bliżej siebie, a w związku z tym gęstość liniowa zarówno ładunku dodatniego, jak i ujemnego wzrośnie. Nie wzrośnie jednak w taki sam sposób, jak przekonamy się poniżej. W związku z tym pojawi się pewien niezerowy wypadkowy ładunek przewodnika, który będzie odpowiedzialny za przyciąganie ładunku próbnego.
Jony dodatnie w układzie nieprimowanym spoczywały. Skoro w układzie primowanym poruszają się z prędkością , to ze względu na skrócenie Lorentza odległości między nimi zmniejszą się o czynnik . Liniowa gęstość ładunku dodatniego w układzie primowanym wynosi więc
(@5) |
Elektrony w układzie nieprimowanym poruszają się z prędkością . Jeśli przez oznaczymy gęstość liniową ładunku ujemnego związanego z elektronami w układzie odniesienia, w którym elektrony spoczywają, to możemy zapisać związek pomiędzy , a w postaci
(@6) |
W układzie primowanym elektrony poruszają się z kolei z prędkością , w związku z czym związek i ma postać
(@7) |
Możemy w takim razie zapisać związek między gęstością ładunku ujemnego w układzie primowanym i gęstością ładunku ujemnego w układzie nieprimowanym
(@8) |
Po podstawieniu do powyższego równania wyrażenia na (@3) i kilku przekształceniach otrzymujemy
(@9) |
Gęstość liniowa ładunku ujemnego będzie więc większa niż gęstość liniowa ładunku dodatniego. Oznacza to, że siła działająca na ładunek próbny będzie przyciągająca. Wypadkowa gęstość ładunku w przewodniku w układzie primowanym wynosi
(@10) |
Korzystając z faktu, że , otrzymujemy
Przewodnik będzie przyciągał ładunek próbny pewną siłą Coulomba. Korzystając z prawa Coulomba lub równoważnego mu prawa Gaussa, można pokazać, że siła działająca na ładunek punktowy znajdujący się w odległości od nici o gęstości liniowej ładunku wynosi
(@12) |
Podstawiając do tego wzoru uzyskane wyrażenie na (@11), otrzymujemy, że w układzie primowanym siła Coulomba działająca na ładunek próbny wynosi:
(@13) |
Zwróćmy uwagę, że wyrażenie jest równe natężeniu prądu płynącego przez przewodnik obserwowanemu w układzie nieprimowanym:
(@14) |
Wprowadzając oznaczenie , równanie na siłę w układzie primowanym otrzymujemy w postaci
(@15) |
Wzór na siłę jest więc bardzo podobny do wzoru na siłę Lorentza wyznaczonego w tradycyjny sposób (@2). Jedyną różnicą jest czynnik . Różnica bierze się stąd, że w szczególnej teorii względności, gdy przechodzimy z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego, siła podobnie jak inne wielkości również podlega transformacji. W rozważanej sytuacji transformacja siły między układem primowanym i nieprimowanym ma postać
(@16) |
W związku z tym z powyższego rozumowania otrzymujemy, że w układzie nieprimowanym siła działająca na ładunek wynosi
(@17) |
I tym sposobem za pomocą rozważań relatywistycznych i prawa Coulomba wyprowadziliśmy wzór na siłę Lorentza działającą na ładunek poruszający się wzdłuż przewodnika przez który płynie prąd o natężeniu .
Istnienie siły Lorentza i w związku z tym konieczność wprowadzenia pojęcia pola magnetycznego wynika więc z praw szczególnej teorii względności. Jest rzeczą niesłychanie istotną, że w powyższych rozważaniach efekty relatywistyczne (skrócenie Lorentza) są istotne nawet wtedy, gdy ładunek próbny porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła. Siła Lorentza znacząco wpływa również na ruch ładunków poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła. Można powiedzieć, że siła Lorentza jest efektem relatywistycznym, który objawia się nawet dla cząstek poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła!