Wyprowadzenie transformacji Lorentza (derivation of the Lorentz transformation)
Dwa inercjalne układy odniesienia: układ S' porusza się z prędkością względem układu S
Jeśli obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie ,, oraz czas , to obserwator przypisze temu zdarzeniu współrzędne:
(@1) |
gdzie . Transformacja powyższa jest zapisana przy założeniu, że w chwili, gdy początki obu układów współrzędnych pokrywają się, zachodzi równość .
Dowód:
Postulaty szczególnej teorii względności mają postać:- Postulat względności: Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony.
- Postulat stałej prędkości światła: We wszystkich inercjalnych układach odniesienia światło rozchodzi się w próżni z tą samą prędkością c.
Załóżmy, że obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie ,, oraz czas , natomiast obserwator przypisuje temu zdarzeniu współrzędne ,, oraz czas . Udowodnimy najpierw, że z uwagi na fakt, że ruch względny obserwatorów odbywa się tylko w kierunku , a w chwili początki układów współrzędnych pokrywały się, współrzędne zdarzenia i muszą być równe odpowiednim współrzędnym i . Załóżmy, że dwaj obserwatorzy, przelatując obok siebie, wyciągają do siebie ręce (prostopadle do kierunku ruchu) każdy na tej samej wysokości, mierzonej we własnym układzie odniesienia. Jeśli transformacja Lorentza byłaby taka, że , to obserwatorzy stwierdziliby, że ręka któregoś z nich podczas mijania się była niżej niż ręka drugiego. Oznaczałoby to, że jeden z obserwatorów dochodzi do wniosku, że poruszające się obiekty ulegają skróceniu w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu, podczas gdy drugi z obserwatorów doszedłby do przeciwnego wniosku - mianowicie, że poruszające się obiekty ulegają wydłużeniu w kierunku prostopadłym do kierunku ich ruchu. Taka sytuacja byłaby sprzeczna z zasadą względności mówiącą, że prawa fizyki we wszystkich układach inercjalnych są takie same i żaden układ nie jest wyróżniony. W związku z tym
(@2) |
Załóżmy teraz, że obserwator (Agata) mierzy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami. Zdarzenie pierwsze jest to wysłanie przez obserwatora światła do góry w kierunku osi .
a) W pociągu Agata za pomocą jednego zegara Z mierzy odstęp czasu t0 dzielący zdarzenia 1 i 2, które nastąpiły w pociągu. Zegar narysowany jest dwukrotnie: pierwszy raz przedstawia odczyt dla zdarzenia 1 i drugi ? odczyt dla zdarzenia 2
Następnie światło odbija się od zwierciadła oddalonego o i wraca do obserwatora . Zdarzenie drugie jest to zdarzenie powrotu światła do obserwatora . Czas pomiędzy tymi zdarzeniami
mierzony przez obserwatora wynosi
(@3) |
gdzie jest prędkością światła. Z punktu widzenia obserwatora (Jacek) światło musiało przebyć większą drogę .
b) Jacek, stojąc na peronie, obserwuje zdarzenia zachodzące w pociągu. Aby zmierzyć odstęp czasu między zdarzeniami 1 i 2, musi mieć dwa zsynchronizowane zegary: Z1 w miejscu zdarzenia 1 i Z2 w miejscu zdarzenia 2. Zmierzony przez niego odstęp czasu ma wartość t
Ponieważ prędkość światła jest taka sama dla każdego z obserwatorów, odstęp czasu pomiędzy zdarzeniami wynosi
przy czym zachodzi związek
(@5) |
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że rozmiary w kierunku prostopadłym do ruchu nie ulegają zmianie. Podstawiając to wyrażenie do równania (@4), otrzymujemy związek pomiędzy i
(@6) |
Oznacza to, że według obserwatora upłynęło więcej czasu pomiędzy wysłaniem i powrotem światła niż zmierzył to obserwator . Zjawisko to nosi nazwę dylatacji czasu. Występujący w powyższym wzorze współczynnik
(@7) |
nosi nazwę współczynnika Lorentza. Będziemy poszukiwać teraz liniowej transformacji współrzędnych , zgodnej z postulatami szczególnej teorii względności. Najogólniejsza transformacja liniowa współrzędnych i ma postać
gdzie są współczynnikami transformacji i mogą zależeć od prędkości obserwatorów względem siebie. Rozważmy zegar znajdujący się w początku układu nieprimowanego (). Jeśli odstęp pomiędzy tyknięciami zegara mierzony przez obserwatora nieprimowanego wynosi , to ze względu na zjawisko dylatacji czasu odstęp czasu między tyknięciami zegara mierzony przez obserwatora primowanego wynosi . Podstawiając ten związek do drugiego z równań (@8), otrzymujemy
(@9) |
a w związku z tym
(@10) |
Obserwator primowany widzi, że zegar umieszczony w początku układu nieprimowanego porusza się w lewo. W chwili obserwator primowany przypisze mu położenie . Korzystając z tego związku i pamiętając, że , otrzymujemy
(@11) |
co prowadzi do równości
(@12) |
Jeśli umieścimy teraz zegar w początku układu primowanego ( ), to obserwator nieprimowany w chwili przypisze zegarowi współrzędną . Podstawiając tę równość do pierwszego z równań (@8), dostajemy
(@13) |
czyli
(@14) |
Na koniec skorzystamy jeszcze raz z faktu stałości prędkości światła dla obu obserwatorów. Obserwując poruszające się światło obaj obserwatorzy przypisują mu tę samą prędkość . Oznacza to, że jednocześnie muszą zachodzić dwie równości:
(@15) |
Podstawiając te równości do równań (@8), otrzymujemy:
(@16) |
Dzieląc te równania stronami i podstawiając do otrzymanego związku wyrażenia na , i dostajemy:
(@17) |
Stąd możemy już wyznaczyć :
(@18) |
Ostatecznie transformacja Lorentza ma więc postać:
(@19) |