Wyprowadzenie transformacji Lorentza (derivation of the Lorentz transformation)

Załóżmy, że obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością wzdłuż w kierunku .

Dwa inercjalne układy odniesienia: układ S' porusza się z prędkością względem układu S

Jeśli obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie ,, oraz czas , to obserwator przypisze temu zdarzeniu współrzędne:

(@1)

gdzie . Transformacja powyższa jest zapisana przy założeniu, że w chwili, gdy początki obu układów współrzędnych pokrywają się, zachodzi równość .

Dowód:

Postulaty szczególnej teorii względności mają postać:

• Postulat względności: Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony.
• Postulat stałej prędkości światła: We wszystkich inercjalnych układach odniesienia światło rozchodzi się w próżni z tą samą prędkością c.

Załóżmy, że obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie ,, oraz czas , natomiast obserwator przypisuje temu zdarzeniu współrzędne ,, oraz czas . Udowodnimy najpierw, że z uwagi na fakt, że ruch względny obserwatorów odbywa się tylko w kierunku , a w chwili początki układów współrzędnych pokrywały się, współrzędne zdarzenia i muszą być równe odpowiednim współrzędnym i . Załóżmy, że dwaj obserwatorzy, przelatując obok siebie, wyciągają do siebie ręce (prostopadle do kierunku ruchu) każdy na tej samej wysokości, mierzonej we własnym układzie odniesienia. Jeśli transformacja Lorentza byłaby taka, że , to obserwatorzy stwierdziliby, że ręka któregoś z nich podczas mijania się była niżej niż ręka drugiego. Oznaczałoby to, że jeden z obserwatorów dochodzi do wniosku, że poruszające się obiekty ulegają skróceniu w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu, podczas gdy drugi z obserwatorów doszedłby do przeciwnego wniosku - mianowicie, że poruszające się obiekty ulegają wydłużeniu w kierunku prostopadłym do kierunku ich ruchu. Taka sytuacja byłaby sprzeczna z zasadą względności mówiącą, że prawa fizyki we wszystkich układach inercjalnych są takie same i żaden układ nie jest wyróżniony. W związku z tym

(@2)

Załóżmy teraz, że obserwator (Agata) mierzy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami. Zdarzenie pierwsze jest to wysłanie przez obserwatora światła do góry w kierunku osi .

a) W pociągu Agata za pomocą jednego zegara Z mierzy odstęp czasu t₀ dzielący zdarzenia 1 i 2, które nastąpiły w pociągu. Zegar narysowany jest dwukrotnie: pierwszy raz przedstawia odczyt dla zdarzenia 1 i drugi ? odczyt dla zdarzenia 2

Następnie światło odbija się od zwierciadła oddalonego o i wraca do obserwatora . Zdarzenie drugie jest to zdarzenie powrotu światła do obserwatora . Czas pomiędzy tymi zdarzeniami mierzony przez obserwatora wynosi

(@3)

gdzie jest prędkością światła. Z punktu widzenia obserwatora (Jacek) światło musiało przebyć większą drogę .

b) Jacek, stojąc na peronie, obserwuje zdarzenia zachodzące w pociągu. Aby zmierzyć odstęp czasu między zdarzeniami 1 i 2, musi mieć dwa zsynchronizowane zegary: Z₁ w miejscu zdarzenia 1 i Z₂ w miejscu zdarzenia 2. Zmierzony przez niego odstęp czasu ma wartość t

Ponieważ prędkość światła jest taka sama dla każdego z obserwatorów, odstęp czasu pomiędzy zdarzeniami wynosi

(@4)

przy czym zachodzi związek

(@5)

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że rozmiary w kierunku prostopadłym do ruchu nie ulegają zmianie. Podstawiając to wyrażenie do równania (@4), otrzymujemy związek pomiędzy i

(@6)

Oznacza to, że według obserwatora upłynęło więcej czasu pomiędzy wysłaniem i powrotem światła niż zmierzył to obserwator . Zjawisko to nosi nazwę dylatacji czasu. Występujący w powyższym wzorze współczynnik

(@7)

nosi nazwę współczynnika Lorentza. Będziemy poszukiwać teraz liniowej transformacji współrzędnych , zgodnej z postulatami szczególnej teorii względności. Najogólniejsza transformacja liniowa współrzędnych i ma postać

(@8)

gdzie są współczynnikami transformacji i mogą zależeć od prędkości obserwatorów względem siebie. Rozważmy zegar znajdujący się w początku układu nieprimowanego (). Jeśli odstęp pomiędzy tyknięciami zegara mierzony przez obserwatora nieprimowanego wynosi , to ze względu na zjawisko dylatacji czasu odstęp czasu między tyknięciami zegara mierzony przez obserwatora primowanego wynosi . Podstawiając ten związek do drugiego z równań (@8), otrzymujemy

(@9)

a w związku z tym

(@10)

Obserwator primowany widzi, że zegar umieszczony w początku układu nieprimowanego porusza się w lewo. W chwili obserwator primowany przypisze mu położenie . Korzystając z tego związku i pamiętając, że , otrzymujemy

(@11)

co prowadzi do równości

(@12)

Jeśli umieścimy teraz zegar w początku układu primowanego ( ), to obserwator nieprimowany w chwili przypisze zegarowi współrzędną . Podstawiając tę równość do pierwszego z równań (@8), dostajemy

(@13)

czyli

(@14)

Na koniec skorzystamy jeszcze raz z faktu stałości prędkości światła dla obu obserwatorów. Obserwując poruszające się światło obaj obserwatorzy przypisują mu tę samą prędkość . Oznacza to, że jednocześnie muszą zachodzić dwie równości:

(@15)

Podstawiając te równości do równań (@8), otrzymujemy:

(@16)

Dzieląc te równania stronami i podstawiając do otrzymanego związku wyrażenia na , i dostajemy:

(@17)

Stąd możemy już wyznaczyć :

(@18)

Ostatecznie transformacja Lorentza ma więc postać:

(@19)