Wyprowadzenie transformacji Lorentza (derivation of the Lorentz transformation)
![](img/img314.gif)
![](img/img14.gif)
![](img/img15.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/obrazek_38.9.jpg)
Dwa inercjalne układy odniesienia: układ S' porusza się z prędkością
![](img/img_a7.gif)
Jeśli obserwator
![](img/img14.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/img124.gif)
![](img/img36.gif)
![](img/img113.gif)
![](img/img314.gif)
![]() |
(@1) |
gdzie
![](img/img316.gif)
![](img/img317.gif)
Dowód:
Postulaty szczególnej teorii względności mają postać:- Postulat względności: Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony.
- Postulat stałej prędkości światła: We wszystkich inercjalnych układach odniesienia światło rozchodzi się w próżni z tą samą prędkością c.
Załóżmy, że obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie
,
,
oraz czas
, natomiast obserwator
przypisuje temu zdarzeniu współrzędne
,
,
oraz czas
. Udowodnimy najpierw, że z uwagi na fakt, że ruch względny obserwatorów odbywa się tylko w kierunku
, a w chwili
początki układów współrzędnych pokrywały się, współrzędne zdarzenia
i
muszą być równe odpowiednim współrzędnym
i
. Załóżmy, że dwaj obserwatorzy, przelatując obok siebie, wyciągają do siebie ręce (prostopadle do kierunku ruchu) każdy na tej samej wysokości, mierzonej we własnym układzie odniesienia. Jeśli transformacja Lorentza byłaby taka, że
, to obserwatorzy stwierdziliby, że ręka któregoś z nich podczas mijania się była niżej niż ręka drugiego. Oznaczałoby to, że jeden z obserwatorów dochodzi do wniosku, że poruszające się obiekty ulegają skróceniu w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu, podczas gdy drugi z obserwatorów doszedłby do przeciwnego wniosku - mianowicie, że poruszające się obiekty ulegają wydłużeniu w kierunku prostopadłym do kierunku ich ruchu. Taka sytuacja byłaby sprzeczna z zasadą względności mówiącą, że prawa fizyki we wszystkich układach inercjalnych są takie same i żaden układ nie jest wyróżniony. W związku z tym
![]() |
(@2) |
Załóżmy teraz, że obserwator (Agata) mierzy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami. Zdarzenie pierwsze jest to wysłanie przez obserwatora
światła do góry w kierunku osi
.
a) W pociągu Agata za pomocą jednego zegara Z mierzy odstęp czasu t0 dzielący zdarzenia 1 i 2, które nastąpiły w pociągu. Zegar narysowany jest dwukrotnie: pierwszy raz przedstawia odczyt dla zdarzenia 1 i drugi ? odczyt dla zdarzenia 2
Następnie światło odbija się od zwierciadła oddalonego o i wraca do obserwatora
. Zdarzenie drugie jest to zdarzenie powrotu światła do obserwatora
. Czas pomiędzy tymi zdarzeniami
mierzony przez obserwatora
wynosi
![]() |
(@3) |
gdzie
![](img/img129.gif)
![](img/img14.gif)
![](img/obrazek_38.5b.jpg)
b) Jacek, stojąc na peronie, obserwuje zdarzenia zachodzące w pociągu. Aby zmierzyć odstęp czasu między zdarzeniami 1 i 2, musi mieć dwa zsynchronizowane zegary: Z1 w miejscu zdarzenia 1 i Z2 w miejscu zdarzenia 2. Zmierzony przez niego odstęp czasu ma wartość
![](img/img_a4.gif)
Ponieważ prędkość światła jest taka sama dla każdego z obserwatorów, odstęp czasu
![](img/img278.gif)
przy czym zachodzi związek
![]() |
(@5) |
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że rozmiary w kierunku prostopadłym do ruchu nie ulegają zmianie. Podstawiając to wyrażenie do równania (@4), otrzymujemy związek pomiędzy
![](img/img278.gif)
![](img/img326.gif)
![]() |
(@6) |
Oznacza to, że według obserwatora
![](img/img14.gif)
![](img/img314.gif)
![]() |
(@7) |
nosi nazwę współczynnika Lorentza. Będziemy poszukiwać teraz liniowej transformacji współrzędnych
![](img/img96.gif)
![](img/img113.gif)
![](img/img96.gif)
![](img/img113.gif)
gdzie
![](img/img333.gif)
![](img/img334.gif)
![](img/img113.gif)
![](img/img335.gif)
![]() |
(@9) |
a w związku z tym
![]() |
(@10) |
Obserwator primowany widzi, że zegar umieszczony w początku układu nieprimowanego porusza się w lewo. W chwili
![](img/img321.gif)
![](img/img338.gif)
![](img/img334.gif)
![]() |
(@11) |
co prowadzi do równości
![]() |
(@12) |
Jeśli umieścimy teraz zegar w początku układu primowanego (
![](img/img341.gif)
![](img/img113.gif)
![](img/img342.gif)
![]() |
(@13) |
czyli
![]() |
(@14) |
Na koniec skorzystamy jeszcze raz z faktu stałości prędkości światła dla obu obserwatorów. Obserwując poruszające się światło obaj obserwatorzy przypisują mu tę samą prędkość
![](img/img129.gif)
![]() |
(@15) |
Podstawiając te równości do równań (@8), otrzymujemy:
![]() |
(@16) |
Dzieląc te równania stronami i podstawiając do otrzymanego związku wyrażenia na
![](img/img140.gif)
![](img/img141.gif)
![](img/img300.gif)
![]() |
(@17) |
Stąd możemy już wyznaczyć
![](img/img101.gif)
![]() |
(@18) |
Ostatecznie transformacja Lorentza ma więc postać:
![]() |
(@19) |