Wyprowadzenie praw Keplera (derivation of Kepler's laws)
Pierwsze prawo Keplera.
Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w której jednym z ognisk znajduje się Słońce.
Drugie prawo Keplera.
Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity. Oznacza to, że wielkośćjest stała, przy czym
oznacza pole powierzchni zakreślone przez tę linię.
Trzecie prawo Keplera
Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej tej orbity.
Dowód:
![](img/img254.gif)
W celu udowodnienia praw Keplera rozważmy planetę o masie krążącą wokół gwiazdy o masie
. Zakładamy, że masa gwiazdy jest znacznie większa od masy planety
. Dzięki temu założeniu możemy przyjąć, że wpływ planety na ruch gwiazdy jest znikomy i gwiazda spoczywa. Położenie planety scharakteryzowane jest przez wektor
. Na planetę działa tylko jedna siła - siła grawitacji pochodząca od gwiazdy, równa
![]() |
(@1) |
gdzie
![](img/img257.gif)
W problemie ruchu planety wokół gwiazdy zamiast używać współrzędnych kartezjańskich
![](img/img35.gif)
![](img/img259.gif)
![](img/img226.gif)
![](img/img229.gif)
![](img/img204.gif)
![](img/img96.gif)
![]() |
(@3) |
Wprowadzamy również wersory
![](img/img261.gif)
![](img/img262.gif)
![](img/img226.gif)
![](img/img229.gif)
![](img/img261.gif)
![](img/img226.gif)
![](img/img204.gif)
![](img/img262.gif)
![](img/img229.gif)
![](img/img261.gif)
![](img/img229.gif)
![](img/img263.gif)
Kierunki wersorów
,
zmieniają się od punktu do punktu. Można je wyrazić przez wersory kartezjańskie
i
wzorami
![]() |
(@4) |
Gdy cząstka się porusza, wersory
![](img/img261.gif)
![](img/img262.gif)
gdzie
![](img/img267.gif)
Używając współrzędnych biegunowych, możemy zapisać, że położenie ciała wynosi
![]() |
(@7) |
Różniczkując to równanie po czasie i korzystając z wzorów na pochodną wersora
![](img/img264.gif)
![]() |
(@8) |
Różniczkując jeszcze raz i korzystając ze wzorów (@5,@6), otrzymujemy przyspieszenie wyrażone we współrzędnych biegunowych
![]() |
(@9) |
co daje ostatecznie
![]() |
(@10) |
Pierwszy człon nosi nazwę przyspieszenia radialnego (jest to przyspieszenie w kierunku
![](img/img261.gif)
![](img/img262.gif)
Podstawiając przyspieszenie zapisane we współrzędnych biegunowych do równania na dynamikę ruchu planety wokół gwiazdy (równanie @2), otrzymujemy
![]() |
(@11) |
Powyższe równanie można zapisać jako dwa równania dla składowych:
Drugie z tych równań można zapisać w formie:
![]() |
(@13) |
Oznacza to że wyrażenie, które jest różniczkowane, nie zmienia się w czasie:
![]() |
(@14) |
Wyrażenie powyższe jest równe momentowi pędu ciała
![]() |
(@15) |
Moment pędu ciała jest więc stały. Stałość momentu pędu wynika wyłącznie z faktu, że siła grawitacji jest siłą centralną. Moment siły działający na planetę jest równy zeru, a co za tym idzie moment pędu ciała nie może ulec zmianie.
Pole, jakie zakreśla planeta w małym czasie , wynosi
.
![](img/obrazek_14.14a.jpg)
a) W przedziale czasu
![](img/img_a4.gif)
![](img/img_a4.gif)
![](img/img_a5.gif)
![](img/img_a4.gif)
Szybkość zmian pola wynosi więc
![]() |
(@16) |
co oznacza, że prędkość polowa związana jest z momentem pędu wzorem
![]() |
(@17) |
Ponieważ moment pędu jest stały, prędkość polowa jest również stała
![]() |
(@18) |
co tym samym dowodzi drugiego prawa Keplera.
Prędkość kątową ciała możemy wyrazić przez jego moment pędu
![]() |
(@19) |
Podstawiając tę postać do pierwszego z równań (@12) otrzymujemy
Chcemy udowodnić, że tor planety jest elipsą. W tym celu zastąpimy pochodną
![](img/img226.gif)
![](img/img226.gif)
![](img/img229.gif)
![]() |
(@21) |
Różniczkując powyższe równanie po czasie, otrzymujemy
![]() |
(@22) |
co można zapisać jako
![]() |
(@23) |
Podstawiając to do równania (@20), otrzymujemy
![]() |
(@24) |
Po uproszczeniu powyższe równanie przyjmuje postać
![]() |
(@25) |
Jest to liniowe niejednorodne równanie różniczkowe na funkcję
![](img/img290.gif)
![]() |
(@26) |
Ogólne rozwiązanie równania bez niejednorodności ma postać
![]() |
(@27) |
gdzie
![](img/img158.gif)
![](img/img293.gif)
![]() |
(@28) |
Wynika stąd, że tor planety opisany jest we współrzędnych biegunowych wzorem
![]() |
(@29) |
gdzie
![]() |
(@30) |
Dla
![](img/img297.gif)
![](img/img298.gif)
![](img/img299.gif)
![](img/img158.gif)
![](img/img300.gif)
![]() |
(@31) |
W związku z tym parametry
![](img/img16.gif)
![](img/img302.gif)
![]() |
(@32) |
W zależności od energii układu, tor planety może być hiperbolą, parabolą lub elipsą. Jeśli
, to
, co oznacza, że tor jest hiperbolą,
, to
, co oznacza, że tor jest parabolą,
, to
, co oznacza, że tor jest elipsą.
W przypadku, gdy tor jest elipsą, półosie elipsy (półoś wielka) i
(półoś mała) można wyrazić przez parametry
,
wzorami
![]() |
(@33) |
Pole elipsy o półosiach
![](img/img307.gif)
![](img/img89.gif)
![]() |
(@34) |
Ponieważ prędkość polowa planety w jej ruchu wokół gwiazdy jest stała i równa
![]() |
(@35) |
okres obiegu planety
![](img/img18.gif)
![]() |
(@36) |
Podstawiając do powyższego wzoru wyrażenie na
![](img/img89.gif)
![]() |
(@37) |
Zapisując to inaczej, mamy
![]() |
(@38) |
co tym samym dowodzi trzeciego prawa Keplera.