Teoria kinetyczna gazów (kinetic theory of gases) (HRW rozdz. 20)

• Równanie stanu gazu doskonałego (ideal gas equation)
• Rozkład prędkości cząsteczek - rozkład Maxwella (particle velocity distribution)
• Średnia energia kinetyczna cząsteczek (mean kinetic energy of particles)
• Energia wewnętrzna i ciepło właściwe gazu doskonałego (internal energy and specific heat of an ideal gas)
• Linki

---

Równanie stanu gazu doskonałego (ideal gas equation)

Równanie stanu gazu doskonałego wiążące ze sobą ciśnienie , objętość i temperaturę gazu ma postać:

gdzie jest liczbą moli gazu, a jest stałą gazową. Przy dostatecznie małej gęstości (takiej, że cząsteczki gazu są na tyle daleko od siebie, że można zaniedbać oddziaływanie między nimi) wszystkie gazy rzeczywiste spełniają równanie stanu gazu doskonałego. Równanie stanu gazu doskonałego można zapisać w innej postaci:

gdzie jest liczbą cząsteczek gazu, , a jest liczbą Avogadra (liczbą cząsteczek w jednym molu substancji). Stała nosi nazwę stałej Boltzmanna.

Rozkład prędkości cząsteczek - rozkład Maxwella (particle velocity distribution)

W gazie o ustalonej temperaturze cząsteczki gazu poruszają się z różnymi prędkościami, których rozkład prawdopodobieństwa (zwany rozkładem Maxwella) dany jest wyrażeniem:

gdzie jest masą cząsteczki gazu, stałą Boltzmanna, a prędkością cząsteczki. Wyrażenie mówi jaki ułamek wszystkich cząsteczek ma prędkości zawarte w przedziale od do . Rozkład Maxwella jest unormowany:

Średnia wartość prędkości cząstek:

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek:

Średnia energia kinetyczna cząsteczek (mean kinetic energy of particles)

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki gazu w temperaturze wynosi:

gdzie jest stałą Boltzmanna. Średnia energia kinetyczna cząsteczki nie zależy od jej masy! Ogólnie na każdy stopień swobody ruchu cząstki przypada energia . W przypadku ruchu postępowego cząstka ma trzy stopnie swobody: związane z ruchem wzdłuż osi i . Stąd w powyższym wzorze występuje czynnik . W przypadku gazów jednoatomowych (, ) jest to jedyny wkład do energii kinetycznej, w związku z tym:

W przypadku cząsteczki dwuatomowej (, ) cząsteczka ma również wkład do energii kinetycznej związany z jej ruchem obrotowym wokół dwóch osi prostopadłych do osi łączących atomy.

Modele cząsteczek występujących w teorii kinetycznej: tlen – przykład cząsteczki dwuatomowej. Dla cząsteczki tlenu zaznaczono dwie osie obrotu

Mamy więc dodatkowe dwa stopnie swobody związane z ruchem obrotowym. W związku z tym energia kinetyczna wynosi:

W przypadku cząsteczki składającej się z trzech lub więcej atomów (, ) są trzy stopnie swobody związane z ruchem obrotowym (obroty wokół trzech prostopadłych osi), w związku z tym energia kinetyczna cząsteczki wynosi:

Energia wewnętrzna i ciepło właściwe gazu doskonałego (internal energy and specific heat of an ideal gas)

W gazie doskonałym cała energia wewnętrzna związana jest z energią kinetyczną cząsteczek (cząsteczki nie oddziałują, ze sobą w związku z czym nie ma energii potencjalnej związanej z oddziaływaniem). Korzystając ze wzorów na średnią energię kinetyczną pojedynczej cząsteczki dostajemy, że energia wewnętrzna moli gazu (cząsteczek) jedno-, dwu- lub wieloatomowego w temperaturze wynosi:

Molowe ciepło właściwe przy stałej objętości wiąże się z energią wewnętrzną wzorem . Ponadto dla gazu doskonałego mamy związek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu z molowym ciepłem właściwym przy stałej objętości dany wzorem (dowód: HRW 20.8). W związku z tym molowe ciepła właściwe gazów doskonałych wynoszą:

gaz jednoatomowy
gaz dwuatomowy
gaz wieloatomowy

Linki

Cząsteczkowy model gazu doskonałego - symulacja przedstawiająca gaz doskonały złożony z wielu cząsteczek, które uderzają w tłok i tym samym równoważą jego ciężar. Można zmieniać liczbę cząsteczek oraz ich prędkości i obserwować ustalanie się stanu równowagi.

Rozkład Maxwella - symulacja pokazująca dochodzenie układu cząsteczek do stanu równowagi, w którym rozkład prędkości jest zadany rozkładem Maxwella.

Symulacja ruchu cząsteczek gazu w polu grawitacyjnym - można obserwować zachowanie cząsteczek gazu w polu grawitacyjnym, zmieniać temperaturę gazu oraz objętość zajmowaną przez gaz i obserwować rozkład prędkości cząsteczek.

Dochodzenie do stanu równowagi - symulacja prezentująca dochodzenie układu cząsteczek gazu do stanu równowagi. Można w pewnym momencie odwrócić przebieg symulacji i zobaczyć, że małe błędy zaokrągleń w symulacji komputerowej powodują, że przy dużej liczbie cząsteczek układ nie wraca dokładnie do swojego stanu wyjściowego. Ilustruje to, jak precyzyjnie trzeba dobrać prędkości cząsteczek, aby rzeczywiście ze stanu o dużej entropii układ przeszedł do stanu o małęj entropii. Uwaga: liczba cząsteczek w symulacji musi być kwadratem liczby naturalnej.