Układy nieinercjalne. Wyprowadzenie wzorów na siły pozorne w układach obracających się (siła odśrodkowa, Coriolisa) (non-inertial frames of reference. derivation of formulas for fictitious forces in rotating frames (centrifugal and Coriolis forces)

Układy nieinercjalne (non-inertial frames of reference)

Czasem istnieje potrzeba rozważania problemu z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego. Na przykład, gdy chcemy opisać zachowanie spadającej walizki z punktu widzenia kogoś siedzącego wewnątrz przyspieszającego pociągu. Z uwagi na przyspieszony ruch pociągu taki obserwator nie jest jednak inercjalny, więc do badania zachowania walizki nie możemy użyć zasad dynamiki Newtona. Można jednak zmodyfikować równania Newtona, tak by dawały poprawne wyniki również z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego.

Niech przyspieszenie pociągu wynosi , a przyspieszenie walizki widziane przez obserwatora siedzącego w pociągu (nieinercjalnego) . Masę walizki oznaczmy jako . Obserwator inercjalny - stojący na peronie - widzi, że walizka ma przyspieszenie:

Obserwator inercjalny może użyć drugiej zasady dynamiki Newtona i napisać:

Korzystając z powyższych równań dostajemy:

co daje równanie:

Z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego zachowanie walizki wygląda tak, jakby poza rzeczywistymi siłami działającymi na nią siłą wypadkową działała jeszcze pewna dodatkowa siła równa . Tę dodatkową siłę nazywamy siłą pozorną. Podsumowując, obserwator nieinercjalny poruszający się z przyspieszeniem może używać zasad dynamiki Newtona pod warunkiem, że poza siłami rzeczywistymi działającymi na ciało o masie doda jeszcze siłę pozorną równą:

Siła pozorna nie pochodzi od działania jakiegokolwiek innego ciała na rozważane ciało, lecz wynika jedynie z tego, że ruch ciała opisujemy w układzie nieinercjalnym.

Siły pozorne w układach obracającym się (fictitious forces in rotating frames)

W układzie nieinercjalnym obracającym się z prędkością kątową występuje siła pozorna składająca się z dwóch części: siły odśrodkowej i siły Coriolisa, które wyrażają się wzorami:

(@1)

(@2)

gdzie jest prędkością ciała w układzie nieinercjalnym.

Dowód:

Rozważmy dwa układy odniesienia obracające się względem siebie. Niech układ nieprimowany będzie układem inercjalnym, natomiast układ primowany będzie układem nieinercjalnym, obracającym się względem układu z prędkością kątową . Niech , będą wersorami związanymi z układem nieprimowanym, natomiast , będą wersorami związanymi z układem primowanym.

Wektory położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w układzie nieprimowanym mają postać

(@3)

Wektory położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w układzie primowanym mają z kolei postać

(@4)

Z uwagi na fakt, że początki układów współrzędnych pokrywają się, wektory położenia ciała i są sobie równe

(@5)

lub zapisując inaczej

(@6)

W celu znalezienia postaci sił pozornych w układzie nieinercjalnym musimy znaleźć związek pomiędzy przyspieszeniem ciała obserwowanym przez obserwatora w układzie nieinercjalnym i przyspieszeniem obserwowanym przez obserwatora w układzie inercjalnym .

Jeśli założymy, że w chwili wersory obu układów pokrywały się, to wersory primowane możemy wyrazić przez wersory nieprimowane wzorami

(@7)

Różniczkując powyższe równania po czasie, otrzymujemy

(@8)

co można zapisać w bardziej eleganckiej formie

(@9)

gdzie jest wektorem prędkości kątowej, który w rozważanej sytuacji jest skierowany w kierunku osi . Różniczkując po czasie równanie (@6), otrzymujemy

(@10)

Podstawiając do powyższego wyrażenia wzory (@9) dostajemy

(@11)

co prowadzi do związku między prędkością ciała obserwowaną w układzie nieinercjalnym i prędkością ciała obserwowaną w układzie inercjalnym

(@12)

Różniczkując po czasie równanie (@10), otrzymujemy:

(@13)

Korzystając z równania (@9), możemy obliczyć drugie pochodne wersorów po czasie

(@14)

Wstawiając powyższe wyrażenia do równania (@13) i korzystając z wzorów (@9), otrzymujemy

(@15)

co daje ostatecznie związek pomiędzy przyspieszeniem ciała obserwowanym w układzie nieinercjalnym i przyspieszeniem w układzie inercjalnym :

(@16)

Jeśli na ciało działa wypadkowa siła , to zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona możemy napisać

(@17)

gdzie jest przyspieszeniem w układzie inercjalnym. Podstawiając to równanie do równania (@16), otrzymujemy

(@18)

Zamieniając kolejność w iloczynie wektorowym, możemy napisać

(@19)

Dla obserwatora w układzie nieinercjalnym zachowanie ciała wygląda więc tak, jakby poza działającymi na ciało rzeczywistymi siłami działały jeszcze dwie siły pozorne: siła Coriolisa i siła odśrodkowa. Istnienie sił pozornych wynika wyłącznie z faktu, że obserwujemy ciało w układzie nieinercjalnym. Siła odśrodkowa jest skierowana radialnie na zewnątrz od osi obrotu i jest tym większa, im dalej od osi obrotu znajduje się ciało

(@20)

Siła Coriolisa objawia się tylko wtedy, gdy ciało ma niezerową prędkość w układzie nieinercjalnym. Siła Coriolisa jest prostopadła do prędkości ciała (obserwowanej w układzie nieinercjalnym) i wynosi

(@21)

Powyższe równania obowiązuje również w przypadku trójwymiarowym, gdy wektory i nie leżą w płaszczyźnie prostopadłej do .

W przypadku dwuwymiarowym, gdy wektory i leżą w płaszczyźnie prostopadłej do , równanie (@19) można zapisać w prostszej postaci

(@22)

Podstawy fizyki

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker

Nowoczesny podręcznik fizyki napisany na podstawie legendarnej książki Resnicka i Hallidaya. Prezentowany materiał jest bogato ilustrowany kolorowymi, sugestywnymi zdjęciami i rysunkami oraz poparty wieloma przykładami.

więcej »

Sponsor książki Mechanika kwantowa:
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego
www.uksw.edu.pl

Copyright © 1997-2024 Wydawnictwo Naukowe PWN SA
infolinia: 0 801 33 33 88