Układy nieinercjalne. Wyprowadzenie wzorów na siły pozorne w układach obracających się (siła odśrodkowa, Coriolisa) (non-inertial frames of reference. derivation of formulas for fictitious forces in rotating frames (centrifugal and Coriolis forces)
Układy nieinercjalne (non-inertial frames of reference)
Czasem istnieje potrzeba rozważania problemu z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego. Na przykład, gdy chcemy opisać zachowanie spadającej walizki z punktu widzenia kogoś siedzącego wewnątrz przyspieszającego pociągu. Z uwagi na przyspieszony ruch pociągu taki obserwator nie jest jednak inercjalny, więc do badania zachowania walizki nie możemy użyć zasad dynamiki Newtona. Można jednak zmodyfikować równania Newtona, tak by dawały poprawne wyniki również z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego.
Niech przyspieszenie pociągu wynosi
, a przyspieszenie walizki widziane przez obserwatora siedzącego w pociągu (nieinercjalnego)
. Masę walizki oznaczmy jako
. Obserwator inercjalny - stojący na peronie - widzi, że walizka ma przyspieszenie:
![](img/img188.gif)
![](img/img189.gif)
![](img/img190.gif)
![](img/img5.gif)
Siły pozorne w układach obracającym się (fictitious forces in rotating frames)
W układzie nieinercjalnym obracającym się z prędkością kątowąwystępuje siła pozorna składająca się z dwóch części: siły odśrodkowej i siły Coriolisa, które wyrażają się wzorami:
![]() |
(@1) |
![]() |
(@2) |
gdzie
![](img/img195.gif)
Dowód:
![](img/img196.gif)
Rozważmy dwa układy odniesienia obracające się względem siebie. Niech układ nieprimowany będzie układem inercjalnym, natomiast układ primowany
będzie układem nieinercjalnym, obracającym się względem układu
z prędkością kątową
. Niech
,
będą wersorami związanymi z układem nieprimowanym, natomiast
,
będą wersorami związanymi z układem primowanym.
Wektory położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w układzie nieprimowanym mają postać
![]() |
(@3) |
Wektory położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w układzie primowanym mają z kolei postać
![]() |
(@4) |
Z uwagi na fakt, że początki układów współrzędnych pokrywają się, wektory położenia ciała
i
są sobie równe
![]() |
(@5) |
lub zapisując inaczej
W celu znalezienia postaci sił pozornych w układzie nieinercjalnym musimy znaleźć związek pomiędzy przyspieszeniem ciała obserwowanym przez obserwatora w układzie nieinercjalnym
![](img/img183.gif)
![](img/img6.gif)
Jeśli założymy, że w chwili wersory obu układów pokrywały się, to wersory primowane możemy wyrazić przez wersory nieprimowane wzorami
![]() |
(@7) |
Różniczkując powyższe równania po czasie, otrzymujemy
![]() |
(@8) |
co można zapisać w bardziej eleganckiej formie
gdzie
![](img/img192.gif)
![](img/img36.gif)
Podstawiając do powyższego wyrażenia wzory (@9) dostajemy
![]() |
(@11) |
co prowadzi do związku między prędkością ciała obserwowaną w układzie nieinercjalnym
![](img/img195.gif)
![](img/img214.gif)
![]() |
(@12) |
Różniczkując po czasie równanie (@10), otrzymujemy:
Korzystając z równania (@9), możemy obliczyć drugie pochodne wersorów po czasie
![]() |
(@14) |
Wstawiając powyższe wyrażenia do równania (@13) i korzystając z wzorów (@9), otrzymujemy
![]() |
(@15) |
co daje ostatecznie związek pomiędzy przyspieszeniem ciała obserwowanym w układzie nieinercjalnym
![](img/img183.gif)
![](img/img6.gif)
Jeśli na ciało działa wypadkowa siła
![](img/img150.gif)
![]() |
(@17) |
gdzie
![](img/img6.gif)
![]() |
(@18) |
Zamieniając kolejność w iloczynie wektorowym, możemy napisać
Dla obserwatora w układzie nieinercjalnym zachowanie ciała wygląda więc tak, jakby poza działającymi na ciało rzeczywistymi siłami
![](img/img150.gif)
![]() |
(@20) |
Siła Coriolisa objawia się tylko wtedy, gdy ciało ma niezerową prędkość w układzie nieinercjalnym. Siła Coriolisa jest prostopadła do prędkości ciała (obserwowanej w układzie nieinercjalnym) i wynosi
![]() |
(@21) |
Powyższe równania obowiązuje również w przypadku trójwymiarowym, gdy wektory
![](img/img204.gif)
![](img/img214.gif)
![](img/img192.gif)
W przypadku dwuwymiarowym, gdy wektory
i
leżą w płaszczyźnie prostopadłej do
, równanie (@19) można zapisać w prostszej postaci
![]() |
(@22) |