Twierdzenia dotyczące przyciągania grawitacyjnego ze strony jednorodnej powłoki sferycznej (theorems concerning gravitational attraction by a uniform spherical shell)
Twierdzenie 1:
Ciało w kształcie jednorodnej powłoki sferycznej przyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątrz niej siłą taką, jakby cała masa powłoki skupiona była w jej środku.
Dowód:
![](img/obrazek_16-6.jpg)
Przyciąganie grawitacyjne punktu materialnego o masie m przez wycinek dS kulistej powłoki materii
Rozważmy cząstkę o masie
![](img/img5.gif)
![](img/img226.gif)
![](img/img94.gif)
Powłoka ma całkowitą masę równą
![](img/img227.gif)
![](img/img113.gif)
![](img/img228.gif)
![](img/img5.gif)
![](img/img229.gif)
![](img/img5.gif)
![](img/img230.gif)
![](img/img229.gif)
![]() |
(@1) |
Masa zawarta w tym pasku wynosi
![]() |
(@2) |
Elementy paska mające tę samą masę, ale leżące po przeciwnych jego stronach (np. w punktach i
na rysunku), będą działały na masę
siłami równymi co do wartości, których poziome składowe dodadzą się, natomiast składowe pionowe się zniosą. Wszystkie elementy paska znajdują się w tej samej odległości
od ciała
, równej
W związku z tym pozioma siła działająca na ciało, pochodząca od paska o masie
![](img/img234.gif)
gdzie czynnik
![](img/img236.gif)
![](img/img5.gif)
![](img/img1.gif)
![](img/img229.gif)
![]() |
(@5) |
Podstawiając powyższe równanie oraz równanie na
![](img/img96.gif)
![]() |
(@6) |
Aby obliczyć całkowitą siłę działającą na masę
![](img/img5.gif)
![](img/img229.gif)
![](img/img239.gif)
![]() |
(@7) |
Dokonując zamiany zmiennych:
![]() |
(@8) |
otrzymujemy:
![]() |
(@9) |
Całkując i pamiętając, że z uwagi na fakt, że
![](img/img243.gif)
![](img/img244.gif)
![]() |
(@10) |
Siła przyciągania masy przez powłokę wynosi
![]() |
(@11) |
Masa powłoki równa się
![](img/img247.gif)
![]() |
(@12) |
czyli sferyczna powłoka przyciąga ciała znajdujące się na zewnątrz niej tak, jakby cała masa powłoki
![](img/img227.gif)
Twierdzenie 2:
Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej działa wypadkową siłą równą zero na cząstkę znajdującą się wewnątrz powłoki.
Dowód:
![](img/obrazek_16-7.jpg)
Przyciąganie grawitacyjne punktu materialnego o masie m przez wycinek dS kulistej powłoki materii. Punkt materialny znajduje się tutaj wewnątrz powłoki
W sytuacji, gdy masa
![](img/img5.gif)
![]() |
(@13) |
Jedyna różnica polega na tym, że w tej sytuacji
![](img/img249.gif)
![](img/img250.gif)
![]() |
(@14) |
co prowadzi do rezultatu
![]() |
(@15) |
Gdy ciało jest umieszczone wewnątrz jednorodnej powłoki sferycznej, siły grawitacyjne pochodzące od powłoki znoszą się i wypadkowa siła wynosi zero.
W przypadku, gdy chcemy obliczyć siłę przyciągania masy pochodzącą nie od sfery, lecz od kuli o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy, możemy również skorzystać z powyższych wyników. Kulę można podzielić na wiele cienkich powłok sferycznych. Powłoki, na zewnątrz których znajduje się masa
, będą ją przyciągać tak, jak masy punktowe umieszczone w ich środkach. Powłoki, wewnątrz których znajduje się masa
, nie dadzą wkładu do siły. Jeśli masa
znajduje się na zewnątrz kuli, to jest przyciągana przez kulę taką siłą, jakby cała masa kuli była umieszczona w jej środku. Jeśli natomiast ciało
znajduje się wewnątrz kuli, to do obliczenia siły należy uwzględnić tylko masę powłok wewnętrznych w stosunku do położenia ciała.