Twierdzenia dotyczące przyciągania grawitacyjnego ze strony jednorodnej powłoki sferycznej (theorems concerning gravitational attraction by a uniform spherical shell)

Twierdzenie 1:

Ciało w kształcie jednorodnej powłoki sferycznej przyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątrz niej siłą taką, jakby cała masa powłoki skupiona była w jej środku.

Dowód:

Przyciąganie grawitacyjne punktu materialnego o masie m przez wycinek dS kulistej powłoki materii

Rozważmy cząstkę o masie znajdującą się na zewnątrz cienkiej powłoki sferycznej o promieniu , w odległości od jej środka.
Powłoka ma całkowitą masę równą równomiernie rozłożoną na całej jej powierzchni, a jej grubość wynosi i jest mała w porównaniu z promieniem. Gęstość masy w powłoce oznaczmy przez . Podzielmy powłokę sferyczną na cienkie paski składające się z punktów równoodległych od masy . Położenie paska możemy scharakteryzować, podając kąt , jaki tworzy promień poprowadzony ze środka sfery do punktu paska i prosta łącząca środek sfery z masą . Szerokość paska wynosi . Objętość paska, którego położenie jest scharakteryzowane przez kąt , wynosi w takim razie

(@1)

Masa zawarta w tym pasku wynosi

(@2)

Elementy paska mające tę samą masę, ale leżące po przeciwnych jego stronach (np. w punktach i na rysunku), będą działały na masę siłami równymi co do wartości, których poziome składowe dodadzą się, natomiast składowe pionowe się zniosą. Wszystkie elementy paska znajdują się w tej samej odległości od ciała , równej

(@3)

W związku z tym pozioma siła działająca na ciało, pochodząca od paska o masie wynosi zgodnie z prawem powszechnego ciążenia

(@4)

gdzie czynnik wynika z tego, że bierzemy tylko poziome składowe sił działających na ciało o masie . Zwróćmy uwagę, że zachodzi następujący związek między kątami i

(@5)

Podstawiając powyższe równanie oraz równanie na (@3) do wyrażenia na siłę (@4), otrzymujemy

(@6)

Aby obliczyć całkowitą siłę działającą na masę ze strony powłoki, należy scałkować powyższe wyrażenie po kącie w zakresie od 0 do :

(@7)

Dokonując zamiany zmiennych:

(@8)

otrzymujemy:

(@9)

Całkując i pamiętając, że z uwagi na fakt, że , możemy napisać: , otrzymujemy

(@10)

Siła przyciągania masy przez powłokę wynosi

(@11)

Masa powłoki równa się , w związku z czym

(@12)

czyli sferyczna powłoka przyciąga ciała znajdujące się na zewnątrz niej tak, jakby cała masa powłoki umieszczona była w jej środku.

Twierdzenie 2:

Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej działa wypadkową siłą równą zero na cząstkę znajdującą się wewnątrz powłoki.

Dowód:

Przyciąganie grawitacyjne punktu materialnego o masie m przez wycinek dS kulistej powłoki materii. Punkt materialny znajduje się tutaj wewnątrz powłoki

W sytuacji, gdy masa znajduje się wewnątrz powłoki sferycznej, siła przyciągania wyraża się tym samym wzorem, co w sytuacji, gdy masa znajdowała się na zewnątrz (patrz powyżej):

(@13)

Jedyna różnica polega na tym, że w tej sytuacji , a w związku z tym , co powoduje, że całkowanie daje

(@14)

co prowadzi do rezultatu

(@15)

Gdy ciało jest umieszczone wewnątrz jednorodnej powłoki sferycznej, siły grawitacyjne pochodzące od powłoki znoszą się i wypadkowa siła wynosi zero.

W przypadku, gdy chcemy obliczyć siłę przyciągania masy pochodzącą nie od sfery, lecz od kuli o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy, możemy również skorzystać z powyższych wyników. Kulę można podzielić na wiele cienkich powłok sferycznych. Powłoki, na zewnątrz których znajduje się masa , będą ją przyciągać tak, jak masy punktowe umieszczone w ich środkach. Powłoki, wewnątrz których znajduje się masa , nie dadzą wkładu do siły. Jeśli masa znajduje się na zewnątrz kuli, to jest przyciągana przez kulę taką siłą, jakby cała masa kuli była umieszczona w jej środku. Jeśli natomiast ciało znajduje się wewnątrz kuli, to do obliczenia siły należy uwzględnić tylko masę powłok wewnętrznych w stosunku do położenia ciała.