Oddziaływania elektromagnetyczne

Elastyczne rozpraszanie

Jako drugi przykład rozpatrzmy elastyczne rozpraszanie . Zmienne kinematyczne potrzebne do jego opisu definiuje rysunek 10a. Wygodnie jest zdefiniować niezmienniki lorentzowskie , , . W rozpraszaniu elastycznym , a zatem . Np. w układzie, w którym mion początkowo spoczywa, niezmienniki te dają się wyrazić przez energie , padającego i rozproszonego elektronu, przez kąt rozpraszania elektronu i masę mionu (w układzie tym . , ).

Rysunek 10. Rozpraszanie elektronu na mionie

Różniczkowy przekrój czynny obliczony w elektrodynamice w najniższym rzędzie rachunku zaburzeń i zapisany w układzie spoczynkowym mionu ma postać

[26]

gdzie zaniedbaliśmy masę elektronu.

Choć energia rozproszonego elektronu jest jednoznacznie wyznaczona przez kąt rozproszenia , można wprowadzić podwójnie różniczkowy przekrój czynny (rozproszenie elektronu w kąt bryłowy z energią ), który ma w tym przypadku postać

[27]

gdzie obecność funkcji znikającej wszędzie oprócz punktu, w którym jej argument jest równy zeru, wyraża fakt, że w procesie rozpraszania elastycznego energia i kąt rozproszenia elektronu są ze sobą związane (tzn., że proces może zachodzić tylko dla ).

Warto też rozpatrzyć ten sam proces także w wyższych rzędach rachunku zaburzeń, jako punkt odniesienia dla dyskusji oddziaływań elektromagnetycznych hadronów. W wyższych rzędach rachunku zaburzeń do amplitudy rozpraszania przyczynek dają m.in. diagramy pokazane na rysunku 11.

Rysunek 11. Diagramy Feynmana dające przyczynki do amplitudy elastycznego rozpraszania w wyższych rzędach rachunku zaburzeń. Istnieją też diagramy powstające z a)-c) przez zamianę

Diagramy pokazane na rysunkach 11a, b i c (a szczególnie c) opisują fizycznie bardzo ważny fakt, że w rzeczywistości elektron i mion nie są cząstkami punktowymi: z punktu widzenia wymienianego fotonu mają one pewien rozkład ładunku. Ów rozkład ładunku (i momentu magnetycznego) opisuje się zwykle za pomocą tzw. czynników struktury cząstki.

Pochodzenie i rolę czynników struktury łatwo zrozumieć rozpatrując rozpraszanie elektronów na statycznym rozkładzie ładunku. Oznaczmy ten rozkład przez , gdzie jest rozmiarem charakteryzującym rozkład. Można wtedy łatwo pokazać, że różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie jest dany wzorem

[28]

gdzie dany wzorem (23) jest przekrojem czynnym na rozpraszanie elektronu na nieruchomym (nieskończenie ciężkim) ładunku punktowym, jest zmianą pędu elektronu, a tzw. czynnik struktury jest transformatą Fouriera rozkładu ładunku:

[29]

Z warunku normalizacji rozkładu ładunku wynika, że . Zatem gdy energia rozpraszanych elektronów jest niewielka, rozpraszanie zachodzi tak, jak gdyby cały ładunek był skupiony w jednym punkcie. Natomiast rozpraszanie elektronów o długości fali de Broglie'a pozwala badać eksperymentalnie rozkład ładunku.

Trzeba jednak od razu zauważyć, że dla cząstek takich jak elektron lub mion "odstępstwa od punktowości" są bardzo małe, ponieważ wartość stałej struktury subtelnej jest bardzo mała. Przyczynki do amplitudy rozpraszania pochodzące od diagramów 11a-c są więc bardzo małe. W przypadku procesu rozpraszania opis przez czynniki struktury nie jest wygodny, gdyż w tych samych rzędach rachunku zaburzeń przyczynek do amplitudy rozpraszania wnoszą także diagramy pokazane na rysunkach 11d, e, f, których nie daje się zinterpretować jako wkład do czynników struktury elektronu lub mionu. W takim wypadku wygodniej jest dyskutować systematycznie przyczynki do amplitudy otrzymywane w kolejnych rzędach rachunku zaburzeń bez definiowania czynników struktury. Trzeba jednak pamiętać, iż pojawiające się efekty fizyczne są spowodowane m.in. tym, że cząstki takie jak elektron i mion mają strukturę, której źródłem są wirtualne cząstki.

Sytuacja jest jakościowo inna, gdy oddziaływanie elektromagnetyczne można traktować jak "przyrząd pomiarowy" struktury cząstek, której źródłem są inne, silniejsze oddziaływania. Można wtedy ograniczyć się do pierwszego rzędu rachunku zaburzeń w stałej struktury subtelnej α. Tak właśnie jest w przypadku hadronów. Źródłem rozkładu ich ładunku elektrycznego i momentu magnetycznego są przede wszystkim efekty związane z wymianą wirtualnych mezonów π. Charakterystyczne rozmiary tego rozkładu są rzędu 1 fmm. W takiej sytuacji czynniki struktury są bardziej użyteczne, gdyż pozwalają opisać np. rozpraszanie elektronów na hadronach (patrz niżej) w sposób efektywny. Z powodu dużej wartości silnej stałej sprzężenia nie można bowiem stosować systematycznie rachunku zaburzeń do ich teoretycznego obliczenia.