Oddziaływania elektromagnetyczne

Nieelastyczne rozpraszanie elektronu na protonie

Kwarkowa budowa hadronów powoduje, że nieelastyczne funkcje struktury zachowują się w sposób jakościowo różny w różnych obszarach kinematycznych. Dotychczas omówiliśmy je dla takich zakresów energii rozpraszanego elektronu i przekazu czteropędu , dla których dominujący efekt pochodził od rozkładu ładunku powstającego w wyniku emisji i absorpcji wirtualnych pionów. Przy dostatecznie wysokiej energii padającego elektronu kwadrat czteropędu wirtualnego fotonu może być duży i w związku z tym jego długość fali może być dużo mniejsza niż charakterystyczne rozmiary protonu,  fm.

Rysunek 14. Rozpraszanie elektronu na protonie. a) Elastyczne: małe () - wirtualny foton o dużej długości fali "widzi" proton jako całość. b) Głęboko nieelastyczne: duże - wirtualny foton o długości fali małej w porównaniu z rozmiarami protonu "rozróżnia" punktowe składniki protonu

Jeśli więc proton jest zbudowany z prawie punktowych kwarków, to rozpraszanie powinno zachodzić na oddzielnych kwarkach. Oczywiście oddziaływania silne zachodzące stale między trzema kwarkami w protonie zamazują w ogólności ten prosty obraz. Jednak przy bardzo wysokiej energii padającego elektronu, proton porusza się w układzie spoczynkowym elektronu niemal z prędkością światła. Wówczas na skutek relatywistycznej dylatacji czasu elektron "widzi" strukturę protonu jak gdyby "zamrożoną" - wszystkie ruchy kwarków w protonie spowodowane oddziaływaniami silnymi są bardzo powolne (zgodnie ze szczególną teorią względności, z punktu widzenia elektronu czas w układzie związanym z protonem płynie wolniej!). Z drugiej strony duża wartość wirtualnego fotonu oznacza, że charakterystyczny czas upływający między emisją i absorpcją fotonu jest bardzo krótki - dużo krótszy niż charakterystyczny czas silnych oddziaływań kwarków wewnątrz protonu. Tak więc dla dostatecznie dużych wartości przekazu czteropędu rozpraszanie powinno zachodzić tak, jakby proton był zbudowany ze swobodnych kwarków. Co więcej, gdy długość fali wirtualnego fotonu jest dużo mniejsza niż "średnie" odległości między kwarkami, amplitudy prawdopodobieństawa rozpraszania na poszczególnych kwarkach stają się niespójne i przekrój czynny jest sumą przekrojów czynnych dla rozpraszania elektronu na poszczególnych kwarkach (efekty interferencji amplitud zanikają). Taki obraz rozpraszania głęboko nieelastycznego nazywa się modelem partonowym. Schematycznie głęboko nieelastyczne rozpraszanie elektronów na protonach (nukleonach) wygląda wtedy jak na rysunku 15.

Rysunek 15. Głęboko nieeleastyczne rozpraszanie elektronu na kwarkach wewnątrz nukleonu

W modelu partonowym łatwo zrozumieć postać funkcji struktury i zdefiniowanych wzorem (32). Mimo iż wzory (27) i (32) zostały zapisane w układzie laboratoryjnym (energia i kąt rozpraszania zostały zdefiniowane w układzie, w którym proton spoczywa), to trzeba pamiętać, że funkcje struktury i są niezmiennikami przekształceń Lorentza. Z porównania wzorów (32) i (27) otrzymujemy na przykład

[33]

Obie funkcje struktury są skalarnymi funkcjami zmiennych i będących niezmiennikami przekształceń Lorentza. i można je obliczać w dowolnym układzie odniesienia. Wygodnie jest wprowadzić funkcje i oraz tzw. zmienną Bjorkena . Patrząc na rozpraszanie elastyczne jak na granicę rozpraszania nieelastycznego, można wówczas pokazać, że dla rozpraszania elastycznego zachodzi związek

[34]

W modelu partonowym naturalnym układem odniesienia jest układ, w którym proton porusza się z bardzo dużym pędem (tzw. układ nieskończonego pędu). Podstawowym założeniem czynionym w tym modelu jest przyjęcie, że w tym układzie odniesienia rozpraszanie elektronu na protonie daje się przedstawić jako rozpraszanie na zbiorze swobodnych kwarków, z których każdy ma pęd stanowiący część pędu protonu jako całości. Niech rozkład prawdopodobieństwa znalezienia kwarka z pędem w protonie będzie opisany funkcją . Różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie nieelastyczne na nukleonie daje się wtedy zapisać w postaci

[35]

gdzie jest przekrojem czynnym na elastyczne rozpraszanie elektronu na kwarku o ładunku elektrycznym (w jednostkach ). Ten przekrój czynny jest więc wyznaczony przez elastyczne kwarkowe funkcje struktury. Definiując dla kwarków wielkości , , mamy

[36]

Przekrój czynny na rozpraszanie na nukleonie jest zatem wyznaczony przez funkcje struktury nukleonu

[37]

(czynnik pod całką pochodzi z czynnika normalizacyjnego w , który wynika ze zmiany strumienia kwarków o pędzie w stosunku do strumienia protonów w układzie nieskończonego pędu).

W tym podejściu funkcje struktury zależą więc od jednej tylko zmiennej , a nie od dwóch zmiennych i (tzw. skalowanie Bjorkena). Widać też, iż w ramach modelu partonów pomiar funkcji struktury głęboko nieelastycznego rozpraszania jest pomiarem funkcji rozkładu pędu kwarków w nukleonie.

Rysunek 16. (lub ) jako funkcja przy (wg Friedmana i Kendalla, 1972)

Rysunek 16 pokazuje zmierzoną w SLAC wartość czynnika struktury w funkcji dla ustalonej wartości zmiennej . Widać wyraźnie, że czynnik ten słabo zależy od . W ten właśnie sposób uzyskano dowody kwarkowej budowy hadronów co, jak to omówimy w następnym rozdziale - doprowadziło do przełomu w zrozumieniu oddziaływań silnych. Warto jednak od razu dodać, że zależność czynników struktury od chociaż słaba, jest jednak mierzalna. Zależność ta daje się wyjaśnić ilościowo przez policzalną w rachunku zaburzeń w silnej stałej sprzężenia (dzięki tzw. asymptotycznej swobodzie) strukturę samych kwarków. Ilościowe wyjaśnienie tego efektu jest jednym z sukcesów chromodynamiki kwantowej.