Czy światło można traktować jak gaz? Wyprowadzenie równania stanu gazu fotonowego

Rozważmy metalową wnękę, wewnątrz której znajduje się światło (lub inne promieniowanie elektromagnetyczne).

Gaz fotonowy (photon gas)

Będziemy myśleć o promieniowaniu zawartym we wnęce w obrazie korpuskularnym, czyli traktując je jako gaz fotonów. Fotony niosą ze sobą pewną energię i pęd. Podczas odbijania się od ścianek wnęki przekazują im pewną porcję pędu. W związku z tym gaz fotonowy wywiera na ścianki naczynia ciśnienie, podobnie jak zwykły gaz złożony z cząsteczek. Będziemy poszukiwać równania stanu dla gazu fotonowego analogicznego do równania stanu gazu doskonałego.

Foton nie ma masy i porusza się z prędkością światła . Zgodnie ze szczególną teorią względności relatywistyczny związek energii i pędu ma postać:

(@1)

Dla fotonu () związek ten przyjmuje postać:

(@2)

Rozważmy foton, który porusza się poziomo we wnęce, i dla uproszczenia przyjmijmy, że wnęka jest sześcianem o krawędzi .

Niech foton ma pęd i energię . Przy każdym odbiciu od prawej ściany wnęki foton przekazuje ścianie pęd równy

(@3)

Czas, jaki potrzebuje foton na przebycie wnęki w tam i z powrotem, wynosi

(@4)

W związku z tym średnia siła, jaką wywiera ten foton na prawą ścianę wnęki, wynosi

(@5)

Taką samą średnią siłą działa ten foton na lewą ścianę wnęki. Niech będzie energią wszystkich fotonów zawartych we wnęce. Ponieważ fotony poruszają się w przypadkowych kierunkach (, , ), całkowitej energii przypada na ruch w kierunku , na ruch w kierunku i na ruch w kierunku . Siła wywierana przez fotony na każdą ze ścianek wynosi zatem

(@6)

Ciśnienie gazu fotonowego równe jest:

(@7)

Wyrażenie jest równe objętości wnęki. W związku z tym równanie stanu gazu fotonowego ma postać:

(@8)

Dla porównania, dla jednoatomowego gazu doskonałego obowiązują równania:

(@9)

czyli związek , i ma postać:

(@10)

Do pełnego opisu gazu fotonowego potrzeba jeszcze znaleźć zależność energii gazu od temperatury . Ważną różnicą między gazem fotonowym a gazem cząsteczkowym jest fakt, że liczba fotonów w zamkniętej wnęce nie jest stała. Ścianki wnęki nieustannie absorbują i emitują fotony, w związku z czym liczba fotonów się zmienia. We wzorach nie będzie więc występować liczba fotonów we wnęce.

Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać jako

(@11)

gdzie jest gęstością energii we wnęce. Chcemy znaleźć zależność gęstości energii we wnęce od temperatury, .

Cykl Carnota dla gazu fotonowego (Carnot cycle for photon gas)

Rozważmy w tym celu silnik Carnota, w którym ciałem roboczym jest gaz fotonowy, a temperatura grzejnika i chłodnicy wynoszą odpowiednio i .

Na rysunku czerwone linie oznaczają przemiany izotermiczne, natomiast niebieskie przemiany adiabatyczne. Izotermy są poziome, gdyż zależy tylko od , a z kolei zależy tylko od temperatury. Sprawność silnika jest stosunkiem pracy wykonanej przez silnik w jednym cyklu do dostarczonej w tym cyklu energii w postaci ciepła:

(@12)

Praca wykonana równa jest polu powierzchni obejmowanemu przez figurę reprezentującą cykl na rysunku. Ponieważ różnica temperatur jest nieskończenie mała, możemy obliczyć to pole jako pole prostokąta:

(@13)

Silnik pobiera energię w postaci ciepła w przemianie izotermicznej w temperaturze . Pobrane ciepło zużywane jest na wykonanie pracy i zwiększenie energii wewnętrznej gazu:

(@14)

Podstawiając związek ciśnienia i energii wewnętrznej (@11) otrzymujemy

(@15)

Sprawność silnika wynosi więc

(@16)

Z drugiej strony, korzystając ze wzoru na sprawność silnika Carnota (który jest poprawny niezależnie od substancji roboczej), mamy, że

(@17)

Porównując powyższe wyrażenia, otrzymujemy

(@18)

Całkując stronami, otrzymujemy, że

(@19)

gdzie jest pewną stałą, której wyznaczenie wymaga bardziej złożonych rozważań. Wzór powyższy oznacza, że gęstość energii gazu fotonowego jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Stała wyraża się przez stałą Stefana-Boltzmanna (patrz niżej) wzorem:

(@20)

Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać więc w postaci:

(@21)

Prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna (Stefan-Boltzmann law of radiation)

Gdy w ściance wnęki z gazem fotonowym zrobimy mały otwór, część promieniowania będzie z wnęki uciekać. Moc promieniowania emitowanego przez otwór o jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do gęstości energii promieniowania zawartej we wnęce razy prędkość światła:

(@22)

Moc promieniowania jest więc proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Wzór powyższy jest poprawny nie tylko dla przypadku promieniowania wychodzącego z małego otworu we wnęce, ale jest on poprawny dla każdego ciała, które można uważać za ciało doskonale czarne. Moc promieniowania każdego ciała doskonale czarnego wyraża się wzorem

(@23)

Powyższe prawo nosi nazwę prawa Stefana-Boltzmanna. Stała nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna i może być wyznaczona z rozważań kwantowych

(@24)

gdzie jest stałą Boltzmanna, a stałą Plancka.