Zasady dynamiki Newtona a szczególna teoria względności (Newton's laws of dynamics vs. special theory of relativity)

Zasady dynamiki Newtona (Newton's laws of dynamics)

Trzy zasady dynamiki Newtona są podstawą klasycznej fizyki nierelatywistycznej. Pozwalają poprawnie opisywać dynamikę ciał, gdy można zaniedbać efekty kwantowe oraz gdy prędkości ciał są znacznie mniejsze od prędkości światła. Trzy zasady dynamiki Newtona brzmią następująco:

1. Gdy na ciało nie działają żadne inne ciała, pozostaje ono w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układów inercjalnych.
2. Żeby ciału o masie nadać przyspieszenie , trzeba na nie działać wypadkową siłą równą .
3. Gdy ciało działa na ciało siłą , to ciało działa na ciało siłą o takiej samej wartości, ale przeciwnie skierowaną: .

Szczególna teoria względności zmienia nasze spojrzenie na podstawowe pojęcia mechaniki, takie jak czas, przestrzeń, pęd, energia... Jak w związku z tym wyglądają zasady dynamiki w szczególnej teorii względności? Czy można używać zasad dynamiki w takiej formie, jak sformułowane powyżej, czy też trzeba je zmodyfikować?

,,Zasady dynamiki Newtona'' w szczególnej teorii względności (Newton's laws of dynamics in special theory of relativity)

W szczególnej teorii względności, podobnie jak w fizyce newtonowskiej, wprowadzamy pojęcie układów inercjalnych. W takich układach ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Pierwsza zasada dynamiki Newtona nie wymaga więc modyfikacji i obowiązuje również w ramach szczególnej teorii względności.

Druga zasada dynamiki Newtona w postaci jest nie do utrzymania w szczególnej teorii względności. Wyobraźmy sobie na przykład, że umieszczamy naładowaną cząstkę w jednorodnym polu elektrycznym. Na cząstkę będzie działać wtedy stała siła. Jeśliby druga zasada dynamiki Newtona obowiązywała w szczególnej teorii względności, to cząstka poruszałaby się ze stałym przyspieszeniem. Oznaczałoby to, że jej prędkość rośnie liniowo z czasem. Po dostatecznie długim czasie cząstka przekroczyłaby prędkość światła, łamiąc tym samym prawa szczególnej teorii względności.

W fizyce newtonowskiej drugą zasadę dynamiki Newtona można zapisać również w postaci:

(@1)

gdzie jest pędem cząstki. Dość naturalną modyfikacją tej zasady, tak by spełniała wymogi szczególnej teorii względności, jest zastąpienie pędu pędem relatywistycznym

(@2)

Druga zasada dynamiki Newtona w takiej formie nie pozwoli już rozpędzić cząstki do prędkości równej lub większej niż prędkość światła, gdyż pęd relatywistyczny dąży do nieskończoności, gdy prędkość ciała dąży do prędkości światła.

Trzecia zasada dynamiki Newtona również sprawia problemy przy próbie przeniesienia jej do szczególnej teorii względności. Rozważmy dwa ciała i spoczywające w pewnym układzie odniesienia. Załóżmy, że ciała przyciągają się pewnymi siłami (np. grawitacyjnymi) spełniającymi trzecią zasadę dynamiki Newtona

(@3)

Jeśli teraz przesuniemy nagle ciało do góry, to siła, z jaką ciało działa na ciało , nie zmieni się od razu. Pole, jakie wytwarza ciało , potrzebuje czasu, by dotrzeć do ciała , a maksymalna prędkość, z jaką pole może się rozchodzić, to prędkość światła. W związku z tym do czasu, aż informacja o zmianie położenia ciała dotrze do ciała , siła działająca na ciało będzie cały czas skierowana poziomo w lewo. Z drugiej strony, gdy ciało zmieniło swoje położenie, siła działająca na ciało ze strony ciała zmieniła się. Ciało znalazło się w miejscu, gdzie pole pochodzące od ciała jest inne, i w związku z tym siła działająca na cało się zmieni

Widzimy, że w tej sytuacji trzecia zasada dynamiki Newtona nie jest spełniona:

(@4)

Czym więc należy zastąpić trzecią zasadę dynamiki Newtona, jeśli chcemy sformułować zasady dynamiki zgodne ze szczególną teorią względności?

W ramach fizyki newtonowskiej, korzystając z zasad dynamiki, można między innymi wyprowadzić zasadę zachowania pędu mówiącą, że w układzie, na który nie działają zewnętrzne siły (lub zewnętrzne siły się równoważą), całkowity pęd układu jest zachowany. W wyprowadzeniu tym korzysta się zarówno z drugiej, jak i trzeciej zasady dynamiki Newtona.

Można teraz odwrócić kolejność rozumowania. Uznać zasadę zachowania pędu za podstawowe prawo przyrody, i korzystając z niego oraz z drugiej zasady dynamiki Newtona, wyprowadzić trzecią zasadę dynamiki Newtona. W związku z tym w fizyce newtonowskiej możemy zastąpić trzecią zasadę dynamiki Newtona zasadą zachowania pędu i nie zmieni to naszej teorii. Zastąpienie trzeciej zasady Newtona zasadą zachowania pędu ma tę zaletę, że możemy łatwo tę zasadę przenieść na grunt teorii względności. Musimy wtedy jedynie zastąpić pęd pędem relatywistycznym. Takie było właśnie podejście Einsteina, który chciał utrzymać zasadę zachowania pędu w taki sposób, żeby obowiązywała w każdym układzie inercjalnym. Gdy obserwujemy zderzenie cząstek i stwierdzamy, że suma pędów przed zderzeniem jest równa sumie pędów po zderzeniu, chcielibyśmy, żeby to samo stwierdził inny obserwator inercjalny poruszający się względem nas z pewną prędkością. Okazuje się, że newtonowska definicja pędu nie spełnia tego wymagania. To właśnie było motywacją dla zdefiniowania pędu relatywistycznego wzorem (@2). Trzecią zasadę dynamiki Newtona zastąpimy więc w ramach szczególnej teorii względności zasadą zachowania pędu relatywistycznego. Wszystkie obserwacje potwierdzają zasadę zachowania pędu relatywistycznego, jeśli uwzględni się wszystkie ciała wchodzące w skład układu (czasami część pędu unosi samo pole i ten fakt też trzeba uwzględnić).

Podsumowując, trzy zasady dynamiki w szczególnej teorii względności przybierają postać:

1. Gdy na ciało nie działają żadne inne ciała, pozostaje ono w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układów inercjalnych.
2. Siła działająca na ciało równa jest szybkości zmiany jej pędu relatywistycznego: .
3. W układzie, na który nie działają żadne siły zewnętrzne, całkowity relatywistyczny pęd układu nie zmienia się.