Teoria oddziaływań silnych - chromodynamika kwantowa

Wspomniana teoretyczna trudność polegała na niemożności pogodzenia statystyki Fermiego, której powinny podlegać kwarki, jako cząstki o spinie ½ (funkcja falowa identycznych kwarków powinna być całkowicie antysymetryczna przy przestawieniu dowolnej pary kwarków), z założeniem, że w barionach o najniższych masach orbitalny moment pędu kwarków jest równy zeru. Oznacza to, że przestrzenna część funkcji falowej trzech kwarków jest symetryczna ze względu na ich przestawienia. Funkcje falowe tych barionów powinny być więc antysymetryczne w zmiennych spinowych i zapachowych. Rozpatrując jednak funkcję falową podwójnie naładowanego barionu o trzeciej składowej spinu równej , łatwo zobaczyć, że w zmiennych spinowych i zapachowych musi mieć ona postać , czyli musi być również całkowicie symetryczna.

Trudność tę można rozwiązać zakładając, że kwarki mają jeszcze jedną liczbę kwantową, charakteryzującą wyłącznie kwarki i niewidoczną na poziomie hadronów (wartość tej liczby kwantowej dla hadronów wynosi zero). Tę liczbę kwantową nazwano kolorem. Jeśli każdy kwark (dowolnego zapachu) może występować w trzech różnych kolorach to problem ze statystyką Fermiego barionu daje się łatwo rozwiązać: funkcja falowa tej cząstki jest po prostu antysymetryczna w kolorach trzech kwarków .

Przyjmując postulaty: a) że oddziaływania silne są niezmiennicze względem grupy globalnej symetrii kolorowej, b) że obserwowanymi stanami fizycznymi hadronów mogą być tylko singlety grupy kolorowej (hadrony są "białe"), tzn., że mające kolor kwarki nie mogą istnieć jako cząstki swobodne (tzw. uwięzienie koloru), możemy zrozumieć dlaczego w przyrodzie występują tylko stany (lub ) i , a nie np. czy : jest tak dlatego, iż są tylko dwa sposoby zbudowania "białych" hadronów z kolorowych kwarków. Bariony otrzymujemy z kombinacji:

[42]

gdzie dla parzystej (nieparzystej) permutacji kolorów R, Y, B (z ang. red - czerwony, yellow - żółty i blue - niebieski) i znika, gdy jakiś kolor się powtarza; mezony otrzymujemy z kombinacji

Kombinacja jest w oczywisty sposób "biała", tzn niezmiennicza wzgędem obrotów w przestrzeni koloru. Niezmienniczość trójkwarkowej kombinacji można z kolei zrozumieć przez analogię do niezmienniczości względem obrotów wielkości skalarnej zbudowanej z trzech zwykłych wektorów , i :

[43]

Ponieważ w przypadku barionów kolorowa część (42) ich funkcji falowej jest zawsze antysymetryczna ze względu na przestawienie dwóch kwarków, funkcja falowa musi być całkowicie symetryczna w zmiennych spinowych, zapachowych i przestrzennych. W przypadku najlżejszych barionów, których przestrzenna funkcja falowa jest całkowicie symetryczna (z uwagi na zerowy orbitalny moment pędu) oznacza to, że musi ona być też całkowicie symetryczna w zmiennych spinowych i zapachowych. Pozwala to zrozumieć dlaczego najlżejsze bariony tworzą tylko dwa multiplety: oktet i dekuplet grupy tj. dlaczego występuje tylko 18 stanów choć każdy z trzech kwarków może występować w trzech zapachach co daje razem 27 stanów. Okazuje się bowiem, że całkowicie symetryczne w zmiennych spinowych i zapachowych funkcje falowe można otrzymać tylko na dwa sposoby. Jedna możliwość to połączenie odpowiadających dekupletowi symetrycznych zapachowych funkcji falowych z symetrycznymi spinowymi funkcjami falowymi, które odpowiadają równemu całkowitemu spinowi trzech kwarków. Druga możliwość polega na połączeniu antysymetrycznych zapachowych funkcji falowych jednego z oktetów (zapachowe funkcje falowe drugiego oktetu nie są całkowicie antysymetryczne) z antysymetrycznymi spinowymi funkcjami falowymi dającymi całkowity spin trzech kwarków równy ½. Prowadzi to do multipletów pokazanych na rysunku 17.

Uwzględniając własności symetrii, zapachowe funkcje falowe należących do oktetu protonu i neutronu są następujące:

[44]

zaś np. dla należących do dekupletu cząstek mamy: