Fenomenologiczny obraz oddziaływań cząstek elementarnych

Elektron (proton lub neutron) ma dwa wewnętrzne stopnie swobody, czyli spin . Macierze są w tym wypadku proporcjonalne do znanych macierzy Pauliego: , gdzie

[13]

Cząstki o spinie nazywa się cząstkami skalarnymi (np. mezony π, kaony ; cząstką skalarną jest też przewidywany przez minimalną wersję Teorii Standardowej bozon Higgsa ). W przyrodzie istnieją też cząstki o wyższych spinach: np. przenoszące oddziaływania słabe bozony i są cząstkami wektorowymi tzn. mają spin . Znane są też bariony o spinach , itd. oraz mezony o spinach itd. Wszystkie cząstki o spinach (całkowitych) są bozonami, zaś te o spinach (połówkowych) - fermionami.

W relatywistycznej mechanice kwantowej liczby kwantowe i opisane wyżej dają się zdefiniować tylko dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, dla których zawsze istnieje układ spoczynkowy tj. taki, w którym ich pęd jest równy zeru. W przypadku cząstek o zerowej masie spoczynkowej, jak np. foton, wewnętrzne stany cząstki charakteryzuje liczba kwantowa zwana skrętnością, będąca wartością własną operatora

[14]

czyli będąca wartością rzutu spinu na kierunek pędu cząstki.

Skrętność można też zdefiniować dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej. Dla cząstki masywnej o spinie skrętność może i musi przyjmować wartości , gdyż nie jest ona niezmiennikiem przekształceń Lorentza (np. przechodząc do układu odniesienia, w którym pęd cząstki ma przeciwny zwrot, skrętność zmienia się z na ).

Inną użyteczną wewnętrzną liczbą kwantową jest parzystość wewnętrzna . Wiąże się ona z operacją odbicia lustrzanego, tj. z przejściem od funkcji falowej stanu danej cząstki (lub układu cząstek) do funkcji falowej stanu takiego, jakim by był wyjściowy stan odbity w lustrze. Np. jeśli funkcją falową cząstki skalarnej jest funkcja to odbity w lustrze stan tej cząstki miałby funkcję falową daną przez

gdzie jest operatorem parzystości, a parzystością tej cząstki. Ponieważ dwie kolejne operacje inwersji przestrzennej przywracają wyjściowy układ odniesienia, parzystość cząstek może przyjmować tylko wartość lub . Cząstkami skalarnymi o , nazywanymi cząstkami pseudoskalarnymi, są np. mezony π. Jak się jednak okazuje, zachowanie funkcji falowej pojedynczego fermionu przy inwersji nie jest dobrze określone i w konsekwencji nie jest możliwe przypisanie fermionom parzystości w sposób bezwzględny. Można jednak określić parzystość względną dwóch fermionów (układ dwóch fermionów zachowuje się bowiem jak bozon). Umowne przypisanie dodatniej parzystości cząstkom: , , , , i pozwala przyporządkować (względną) parzystość wewnętrzną wszystkim innym cząstkom (oprócz neutrin) w taki sposób, by była ona zachowana w oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych. Parzystość jest multiplikatywną liczbą kwantową co oznacza, że parzystość układu cząstek jest równa iloczynowi parzystości wewnętrznych poszczególnych cząstek oraz parzystości związanej z ich ruchem orbitalnym. Np. dla dwóch cząstek mamy

gdzie jest liczbą kwantową orbitalnego momentu pędu względnego ruchu tych cząstek. Tak zdefiniowana parzystość jest zachowywana we wszystkich oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych. Uzasadnia to wprowadzenie parzystości jako liczby kwantowej. Parzystość nie jest natomiast zachowywana w oddziaływaniach słabych. (Neutrinom nie daje się przypisać parzystości ponieważ uczestniczą wyłącznie w oddziaływaniach słabych.)