Fenomenologiczny obraz oddziaływań cząstek elementarnych

Omówimy teraz pojęcie zasięgu i siły oddziaływania oraz pojęcie złożoności i struktury cząstek. Posłużymy się przy tym teoriopolowym obrazem oddziaływań, którego podstawą jest wymiana cząstek i diagramy Feynmana. W obrazie tym np. elektromagnetyczne oddziaływanie dwóch elektronów można przedstawić jako efekt wymiany między nimi fotonu tak jak na rysunku 5a. Podobnie oddziaływanie silne protonu i neutronu można przedstawić jako wymianę pionu (rys. 5b).

Rysunek 5. Oddziaływanie jako wymiana cząstek

Rysunki 5a-d przedstawiają tzw. diagramy Feynmana. Składają się, one jak widać, z linii różnego typu odpowiadających różnym cząstkom oraz z wierzchołków oddziaływania wynikających ze struktury gęstości hamiltonianu oddziaływania określającej energię oddziaływania pól. Dla każdego interesującego nas procesu zdefiniowanego liczbą i typem cząstek występujących przed oddziaływaniem i po oddziaływaniu można narysować nieskończenie wiele diagramów Feynmana. Formalizm kwantowej teorii pola pozwala w sposób jednoznaczny przypisać każdemu diagramowi odpowiednie wyrażenie analityczne dające przyczynek do amplitudy prawdopodobieństwa badanego procesu. Suma takich wyrażeń odpowiadających diagramom opisującym interesujący nas proces jest amplitudą prawdopodobieństwa jego zajścia. Rachunek zaburzeń polega na uwzględnianiu w obliczanej amplitudzie danego procesu przyczynków od diagramów Feynmana z coraz to większą liczbą wierzchołków oddziaływania. Napiszmy tu dla przykładu przyczynek do amplitudy procesu rozpraszania odpowiadający diagramowi z rysunku 5b:

[19]

Dla uproszczenia pominęliśmy różne czynniki związane z tym, że rozpraszające się cząstki mają spiny ½. Czynnik odpowiada linii wymienianej wirtualnej cząstki π i zwany jest propagatorem. Dwa czynniki , odpowiadające dwóm wierzchołkom oddziaływania, nazywa się stałymi sprzężenia. W rachunku zaburzeń oblicza się amplitudę prawdopodobieństwa zajścia danego procesu jako szereg potęgowy w stałej . Ma to oczywiście sens tylko wtedy, gdy . Warunek ten jest spełniony w elektrodynamice kwantowej i dla oddziaływań słabych. Natomiast w chromodynamice kwantowej sytuacja jest bardziej skomplikowana i omówimy ją w rozdziale 4.

Spróbujmy teraz odnieść powyższe rozważania do znanych oddziaływań. Przy dostatecznie niskich energiach (pojęcie "niskich" i "wysokich" energii zmienia się oczywiście w czasie i zależy od aktualnych możliwości eksperymentalnych; tu mamy na myśli energie  GeV) cztery oddziaływania elementarne różnią się z fenomenologicznego punktu widzenia zasięgiem oraz siłą i dlatego odgrywają różne role w budowie materii. Dwa z nich - grawitacja i elektromagnetyzm - przejawiają się już na poziomie klasycznym ponieważ są długozasięgowe. Oddziaływania słabe i silne przejawiają się zaś dopiero na poziomie kwantowym.

Zasięg wiąże się z masą wymienianej cząstki i jest nieskończony w przypadku wymiany fotonu, którego masa jest równa zeru. W przypadku oddziaływań silnych, które przy energiach cząstek rzędu masy nukleonu są efektywnie opisywane wymianą mezonów π (i ewentualnie innych hadronów), zasięg jest wyznaczony przez masę pionu  fm. Podobnie zasięg oddziaływań słabych, przenoszonych przez masywne bozony i o masach rzędu 100 GeV, jest rzędu  fm. Można pokazać, że w odpowiedniej granicy wymiana cząstki bezmasowej (fotonu) prowadzi do potencjału statycznego oddziaływania postaci . Natomiast w przypadku cząstki przenoszącej oddziaływanie, mającej masę , maksymalna odległość jaką może przebyć cząstka wirtualna jest rzędu , tj. rzędu comptonowskiej długości fali fizycznej cząstki . Nie jest więc dziwne, że, jak można pokazać, w odpowiedniej granicy wymiana cząstki o masie niezerowej prowadzi do potencjału statycznego oddziaływania typu Yukawy, tj. postaci , zanikającego szybko dla .

W ogólności siła poszczególnych oddziaływań jest mierzona typowymi wielkościami amplitud prawdopodobieństwa procesów zachodzących dzięki danemu oddziaływaniu. Jak widać ze wzoru (19) jest ona określona przez dwa czynniki: stałą sprzężenia oraz, dla danego zakresu wartości przekazu czteropędu , przez stosunek wartości do masy cząstki przenoszącej. Także stała sprzężenia zależy od przekazu czteropędu (tzw. biegnąca stała sprzężenia ). Tak więc zależność siły oddziaływania od pochodzi z dwóch czynników: z propagatora i ze stałej sprzężenia. Pomińmy na razie ten drugi efekt. O różnicy sił oddziaływań elektromagnetycznych i słabych w procesach niskoenergetycznych decyduje przede wszystkim wpływ propagatora: dla uproszczenia rozumowania przyjmijmy, że stałe sprzężenia tych dwóch oddziaływań są tego samego rzędu. Wówczas dla przekazów czteropędu typowe wielkości amplitud procesów przez nie powodowanych są rzędu

(Np. dla  GeV² i mamy ). Jeśli stałe sprzężenia obu tych oddziaływań są tego samego rzędu, to w procesach, w których "siła" obu tych oddziaływań powinna być porównywalna
(np. już dla
). Doświadczenie pokazuje, że tak jest w rzeczywistości.

Efektywna siła oddziaływań silnych opisywanych wymianą mezonów π jest wyznaczona przez amplitudę

gdzie i dla wartości , dla których stosuje się ten efektywny opis, .